Indici temporali e duration - UNIVERSITÀ INCLUSIVA

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Due titoli con la stessa scadenza possono comportarsi in modo molto diverso al variare dei tassi. Per descrivere un flusso di pagamenti con un solo numero «temporale» servono indici sintetici: dalla scadenza media alla duration, che è anche la misura della sensibilità del prezzo alle variazioni del tasso. In questo modulo definiamo questi indici e ne vediamo l’uso.

1. Indici temporali elementari

Consideriamo un flusso di importi $x/t=\{x_1,\ldots,x_n\}/\{t_1,\ldots,t_n\}$ (un titolo che li garantisce). Gli indici temporali più semplici sono la scadenza $t_n$ (o maturity) e la vita a scadenza $t_n-t$ (time to maturity), differenza tra la scadenza e l’istante di osservazione. Sono però indici grossolani, perché ignorano i pagamenti intermedi.

Un indicatore un po’ più fine è la scadenza media aritmetica, media delle scadenze pesata con gli importi:

\[ \bar{d}=\frac{\sum_{k=1}^{n} t_k\,x_k}{\sum_{k=1}^{n} x_k}. \]

Resta però un limite: non tiene conto della legge finanziaria, cioè del fatto che importi lontani «pesano» meno una volta scontati.

2. La duration (durata media finanziaria)

La duration (o durata media finanziaria, d.m.f.) corregge proprio questo: è la media delle scadenze pesata con i valori attuali degli importi, non con gli importi nominali. Valutando in $t=0$:

\[ D=\frac{\sum_{k=1}^{n} t_k\,x_k\,v(0,t_k)}{\sum_{k=1}^{n} x_k\,v(0,t_k)} \quad\xrightarrow[\text{struttura piatta}]{}\quad \hat{D}=\frac{\sum_{k=1}^{n} t_k\,x_k\,(1+i)^{-t_k}}{\sum_{k=1}^{n} x_k\,(1+i)^{-t_k}}. \]

Essendo una media di tempi, la duration è un tempo (si misura in anni). Alcune proprietà utili: per uno zero-coupon bond la duration coincide con la vita residua (c’è un solo flusso); per un titolo con cedole è minore della vita residua, e tanto più piccola quanto più pesano le cedole rispetto al rimborso finale; al crescere del tasso, la duration diminuisce.

Esempio 1 — con struttura dei tassi data

Titolo $b=\{5;5;105\}/\{1;2;3\}$, con $v(0,1)=0{,}95$, $v(0,2)=0{,}90$, $v(0,3)=0{,}85$: \[ D=\frac{1\cdot5\cdot0{,}95+2\cdot5\cdot0{,}90+3\cdot105\cdot0{,}85}{5\cdot0{,}95+5\cdot0{,}90+105\cdot0{,}85}=\frac{281{,}5}{98{,}5}=2{,}8579\ \text{anni}. \]

Esempio 2 — struttura piatta

Obbligazione $b=\{320;500\}/\{1;3\}$ (prezzo di acquisto $700$) con $i=10{,}5\%$: \[ D=\frac{1\cdot320\cdot(1{,}105)^{-1}+3\cdot500\cdot(1{,}105)^{-3}}{320\cdot(1{,}105)^{-1}+500\cdot(1{,}105)^{-3}}=\frac{1401{,}34}{660{,}17}=2{,}1227\ \text{anni}. \]

3. La duration come sensibilità del prezzo

Il denominatore della duration è il prezzo del titolo, $V(i)=\sum_k x_k(1+i)^{-t_k}$: la somma dei valori attuali degli importi. Se il tasso aumenta, $V$ diminuisce; se diminuisce, $V$ aumenta. Quanto? Derivando il prezzo rispetto al tasso si scopre che la duration è proprio il fattore di proporzionalità tra variazione del tasso e variazione (relativa) del prezzo:

\[ \frac{dV}{di}=-\frac{\hat{D}}{1+i}\,V \qquad\text{(con il tasso effettivo $i$)}, \qquad \frac{dV}{d\delta}=-\hat{D}\,V \qquad\text{(con l’intensità $\delta$).} \]

Il rapporto $\hat{D}/(1+i)$ è la cosiddetta modified duration (duration modificata): titoli con duration più alta subiscono variazioni di prezzo più ampie, a parità di shock del tasso. La duration è quindi, allo stesso tempo, una durata media e una misura di rischio di tasso.

Esempio — stima della variazione di prezzo

Due titoli quotati $100$, con duration $D_1=2$ e $D_2=3$, a un tasso $i=5\%$. Per un aumento $\Delta i=1\%$: \[ \Delta V_1=-\frac{2}{1{,}05}\cdot100\cdot0{,}01=-1{,}905, \qquad \Delta V_2=-\frac{3}{1{,}05}\cdot100\cdot0{,}01=-2{,}857. \] Il titolo con duration maggiore perde di più (a parità di prezzo): è più sensibile al tasso.

4. Duration di secondo ordine (dispersione)

Per cogliere anche la «curvatura» (di cui parleremo nel prossimo modulo) si introduce la duration di secondo ordine, che usa i quadrati delle scadenze:

\[ D^{(2)}=\frac{\sum_{k=1}^{n} t_k^{2}\,x_k\,v(0,t_k)}{\sum_{k=1}^{n} x_k\,v(0,t_k)}. \]

È una misura di dispersione temporale del flusso (se c’è un solo importo, coincide col quadrato della scadenza). Per il titolo dell’Esempio 1: \[ D^{(2)}=\frac{1\cdot5\cdot0{,}95+4\cdot5\cdot0{,}90+9\cdot105\cdot0{,}85}{98{,}5}=\frac{826}{98{,}5}=8{,}3858. \]

5. Esercizi

Calcolare la duration di uno zero-coupon bond a 5 anni e verificare che coincide con la vita residua.
Per l’obbligazione $\{6;6;106\}/\{1;2;3\}$ al tasso $i=6\%$, calcolare prezzo e duration.
Un titolo ha duration $4{,}1$ e quota $102{,}1$, con $i=4{,}5\%$. Stimare la variazione di prezzo per una diminuzione del tasso di un punto percentuale.
Calcolare la duration di secondo ordine del titolo dell’Esempio 1 e commentare cosa misura.