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Come si converte un tasso tra periodicità diverse, che cos’è il tasso nominale che leggiamo nei contratti, e cosa accade quando la capitalizzazione diventa continua: la forza d’interesse. Questo modulo è il ponte tra l’interesse composto, visto nel modulo precedente, e la sua forma esponenziale, che useremo in tutto il resto del corso.
1. Tassi equivalenti
Le leggi di capitalizzazione valgono qualunque sia l’unità di tempo scelta, a patto che il tasso e il tempo siano espressi nella stessa unità. Nella pratica, però, questa condizione è quasi sempre da costruire: un mutuo paga rate mensili ma è quotato con un tasso annuo; un conto deposito accredita interessi ogni trimestre; due offerte di investimento usano periodicità diverse e vanno confrontate. In tutti questi casi dobbiamo saper passare dal tasso annuo a quello del sottoperiodo, e viceversa.
Diciamo che due tassi sono equivalenti, in un dato regime, se applicati allo stesso capitale per la stessa durata producono lo stesso montante. È la definizione che rende lecito il confronto: due tassi equivalenti sono, dal punto di vista finanziario, lo stesso tasso espresso su scale temporali diverse.
Nel regime composto, detto \(i\) il tasso annuo effettivo e \(i_{1/m}\) il tasso periodale (con \(m\) periodi in un anno), l’equivalenza si impone uguagliando i montanti prodotti in un anno: capitalizzare \(m\) volte al tasso \(i_{1/m}\) deve dare lo stesso risultato di capitalizzare una volta al tasso \(i\). Da qui:
C’è un punto su cui si sbaglia spesso: il tasso equivalente (regime composto) non coincide con il tasso proporzionale \(i/m\), che è invece quello usato nell’interesse semplice. Il proporzionale divide semplicemente il tasso annuo per il numero di periodi; l’equivalente tiene conto del fatto che, capitalizzando più volte, gli interessi dei primi sottoperiodi producono a loro volta interessi. Per questo il tasso equivalente è sempre un po’ più basso del proporzionale (coincidono solo al limite, per variazioni piccolissime).
Esempio — tasso quadrimestrale (\(m=3\)) con \(i=6\%\)
Tasso proporzionale (interesse semplice): \(i_{1/3}=i/3=0{,}02=2\%\).
Tasso equivalente (interesse composto): \(i_{1/3}=(1+0{,}06)^{1/3}-1 \approx 0{,}01961 = 1{,}961\%\).
I due sono vicini ma distinti: il proporzionale (2%) sovrastima leggermente il vero tasso periodale equivalente (1,961%). Su importi e durate grandi, questa differenza non è trascurabile.
| Periodicità | \(m\) | Equivalente \((1+i)^{1/m}-1\) | Proporzionale \(i/m\) |
|---|---|---|---|
| Semestrale | 2 | 5,830% | 6,000% |
| Trimestrale | 4 | 2,874% | 3,000% |
| Mensile | 12 | 0,949% | 1,000% |
2. Il tasso nominale annuo \(J(m)\)
Immaginiamo di investire un capitale in regime composto, ma con gli interessi corrisposti più volte l’anno — per esempio cedole trimestrali, o gli interessi di un conto accreditati ogni mese. Per ciascuno degli \(m\) sottoperiodi matura il tasso periodale \(i_{1/m}\). Sorge allora una domanda pratica di linguaggio: con quale «tasso annuo» comunichiamo un’operazione di questo tipo?
La convenzione adottata è il tasso nominale annuo convertibile \(m\) volte, indicato con \(J(m)\): è semplicemente il tasso periodale moltiplicato per il numero di periodi nell’anno.
È importante capire che il tasso nominale è una convenzione di quotazione, non il rendimento reale. Il rendimento effettivo dell’operazione resta \(i\); il nominale \(J(m)\) è il tasso periodale «annualizzato» in modo lineare, moltiplicandolo per \(m\). È il numero che banche e mercati usano nei contratti: in pratica, il TAN (Tasso Annuo Nominale) che si legge su un mutuo o su un’obbligazione è un tasso nominale di questo tipo. Per \(m \gt 1\) risulta sempre \(J(m) \lt i\): suddividendo l’anno in più stacchi, il tasso nominale che produce lo stesso effettivo è più basso del tasso effettivo stesso.
| Periodicità | \(m\) | \(i_{1/m}\) | \(J(m)=m\,i_{1/m}\) |
|---|---|---|---|
| Semestrale | 2 | 5,830% | 11,659% |
| Trimestrale | 4 | 2,874% | 11,495% |
| Mensile | 12 | 0,949% | 11,386% |
| Giornaliera | 365 | 0,031% | 11,336% |
3. La forza d’interesse \(\delta\) (tasso istantaneo)
Cosa succede se gli stacchi diventano sempre più frequenti — ogni mese, ogni giorno, ogni istante — fino a una capitalizzazione continua? La tabella precedente suggerisce la risposta: \(J(2)=11{,}66\%\), \(J(12)=11{,}39\%\), \(J(365)=11{,}34\%\)… i valori scendono e si stabilizzano. Facendo tendere \(m\to\infty\) nel tasso nominale, il limite esiste ed è:
Il valore \(\delta\) si chiama forza d’interesse (o intensità istantanea d’interesse, o tasso nominale convertibile infinite volte). Per \(i=12\%\), ad esempio, \(\delta=\ln(1{,}12)\approx 11{,}333\%\): praticamente il valore a cui tendeva la colonna \(J(m)\). Il limite si calcola riscrivendolo come \(\dfrac{(1+i)^{1/m}-1}{1/m}\), che è una forma indeterminata \(0/0\), e applicando il teorema di de l’Hôpital rispetto a \(m\): la derivata del numeratore è \((1+i)^{1/m}\ln(1+i)\cdot(-1/m^{2})\), quella del denominatore è \(-1/m^{2}\); semplificando, il rapporto tende a \(1\cdot\ln(1+i)\).
Con la forza d’interesse, tutte le formule dell’interesse composto si riscrivono in forma esponenziale — ed è questa la forma che la matematica finanziaria predilige, perché si presta al calcolo differenziale e ai modelli a tempo continuo:
Cosa rappresenta \(\delta\)
Per il montante continuo \(M(t)=C\,e^{\delta t}\), la velocità relativa di crescita è costante e pari a \(\delta\): infatti \(\dfrac{M'(t)}{M(t)}=\dfrac{C\,\delta\,e^{\delta t}}{C\,e^{\delta t}}=\delta\). In ogni istante, dunque, il capitale cresce alla «velocità» percentuale \(\delta\) per unità di tempo. È l’analogo istantaneo del tasso d’interesse: l’interesse complessivo prodotto in un anno da un’unità di capitale resta \(i\) (e quindi il montante a fine anno è \(1+i\)), ma la spinta alla crescita, momento per momento, è \(\delta=\ln(1+i)\). Per questo \(\delta\) è anche detto intensità d’interesse.
Vale l’ordinamento \(\delta \lt \cdots \lt J(12) \lt J(4) \lt J(2) \lt i\): la forza d’interesse è il più piccolo di tutti questi tassi, e il tasso effettivo \(i\) il più grande. La ragione è la disuguaglianza \(e^{x} \gt 1+x\) (valida per \(x \gt 0\)): ponendo \(x=\delta\) si ha \(e^{\delta}=1+i \gt 1+\delta\), cioè \(\delta \lt i\).
4. La forza d’interesse di una legge qualsiasi
Finora abbiamo ottenuto \(\delta\) come limite, partendo dall’interesse composto. Ma il concetto di «intensità istantanea» ha senso per qualunque legge di capitalizzazione \(r(t)\), non solo per l’esponenziale, e ci permette di leggere ogni regime come un processo che cresce a una certa velocità in ogni istante.
Consideriamo l’interesse prodotto in un intervallo di tempo infinitesimo \([t,\,t+dt]\). Rapportandolo al capitale accumulato all’inizio dell’intervallo, \(M(t)\), e alla durata \(dt\), si ottiene la forza d’interesse istantanea nell’epoca \(t\):
È cioè la derivata logaritmica del fattore di capitalizzazione. L’operazione si può invertire: nota la forza d’interesse istante per istante, si risale al fattore di capitalizzazione integrando dall’epoca 0 all’epoca \(t\),
(usiamo \(s\) come variabile d’integrazione per non confonderla con l’epoca finale \(t\)). Applicando la definizione ai tre regimi del modulo precedente si ottiene il quadro seguente:
| Regime | \(r(t)\) | \(\delta(t)\) | Andamento nel tempo |
|---|---|---|---|
| Interesse semplice | \(1+i\,t\) | \(\dfrac{i}{1+i\,t}\) | decrescente |
| Sconto commerciale | \(\dfrac{1}{1-d\,t}\) | \(\dfrac{d}{1-d\,t}\) | crescente |
| Interesse composto | \((1+i)^{t}\) | \(\ln(1+i)\) | costante |
Esempio 1 — dalla forza al fattore di capitalizzazione
Sia data la forza d’interesse \(\delta(t)=0{,}055\cdot\dfrac{2t}{1+t^{2}}\). Per ricavare la legge di capitalizzazione integriamo: \[ \int_0^t 0{,}055\,\frac{2s}{1+s^{2}}\,ds = 0{,}055\,\big[\ln(1+s^{2})\big]_0^t = 0{,}055\,\ln(1+t^{2}), \] da cui \[ r(t)=e^{0{,}055\,\ln(1+t^{2})} = (1+t^{2})^{0{,}055}. \] Riconosciamo che l’esponenziale di un logaritmo restituisce la base elevata all’esponente.
Esempio 2 — montante con forza d’interesse variabile
Data \(\delta(t)=\dfrac{i}{1+t}\) con \(i=5\%\), calcoliamo il montante di \(100\) euro dopo \(3\) periodi. Integrando, \[ \int_0^t \frac{i}{1+s}\,ds = i\,\ln(1+t), \] quindi \(r(t)=e^{\,i\,\ln(1+t)}=(1+t)^{i}\) e \[ M(3)=100\,(1+3)^{0{,}05}=100\cdot 4^{0{,}05} \approx 107{,}18\ \text{euro}. \]
5. Quadro delle relazioni tra i tassi
Conviene fissare il quadro d’insieme, perché è facile perdersi tra i tanti «tassi». Il punto chiave è che descrivono tutti la stessa operazione, cioè lo stesso tasso effettivo \(i\): cambia soltanto la convenzione con cui lo si esprime.
A partire dal tasso effettivo \(i\) si ottengono:
- il tasso periodale equivalente \(i_{1/m}=(1+i)^{1/m}-1\), usato per i sottoperiodi infra-annuali;
- il tasso nominale \(J(m)=m\,i_{1/m}\), la quotazione «annualizzata» che si legge nei contratti (il TAN);
- la forza d’interesse \(\delta=\ln(1+i)\), il limite continuo per \(m\to\infty\), che riscrive l’IC in forma esponenziale.
\[ \delta \lt \cdots \lt J(m) \lt \cdots \lt J(2) \lt i. \]
Saper passare dall’uno all’altro è una competenza operativa fondamentale: serve per confrontare offerte espresse in modi diversi, per leggere correttamente un contratto e per impostare i modelli del resto del corso.
6. Un esempio completo
Da \(i\) a \(\delta\) e alla capitalizzazione continua
Tasso effettivo annuo \(i=8\%\). Allora \[ \delta=\ln(1{,}08)\approx 0{,}07696=7{,}696\%, \qquad J(12)=12\left[(1{,}08)^{1/12}-1\right]\approx 7{,}721\%, \] coerentemente con l’ordinamento \(\delta \lt J(12) \lt i\). Capitalizzando in modo continuo un capitale \(C=1000\) euro per \(t=3\) anni: \[ M = 1000\,e^{0{,}07696\cdot 3} = 1000\,e^{0{,}23088} \approx 1259{,}71\ \text{euro}, \] che è esattamente lo stesso risultato dell’interesse composto annuo: \(M=1000\,(1{,}08)^{3}=1259{,}71\) euro. Capitalizzazione continua con \(\delta\) e capitalizzazione annua con \(i\) sono due scritture della stessa identica legge.
7. Esercizi
- Il tasso effettivo annuo è \(i=6\%\). Calcolare \(\delta\), \(J(4)\) e \(J(12)\) e verificare l’ordinamento \(\delta \lt J(12) \lt J(4) \lt i\).
- Con capitalizzazione continua a \(\delta=5\%\), quanto vale \(C=2000\) euro tra \(3\) anni e \(6\) mesi? Calcolare anche il tasso effettivo annuo equivalente \(i\).
- Data la forza d’interesse \(\delta(t)=\dfrac{i}{1+t}\) con \(i=4\%\), ricavare \(r(t)\) e il montante di \(500\) euro dopo \(2\) anni.
- Per \(i=10\%\): di quanto il tasso mensile equivalente differisce dal proporzionale \(i/12\)? Commentare il segno della differenza.
Suggerimento per l’esercizio 1
\(\delta=\ln(1{,}06)\); \(J(m)=m\left[(1{,}06)^{1/m}-1\right]\). Tutti i \(J(m)\) stanno tra \(\delta\) e \(i\), e decrescono al crescere di \(m\).
