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Misurare il rischio di tasso (la duration) è metà dell’opera; l’altra metà è gestirlo. Molti intermediari devono pagare uscite future certe usando le entrate di un portafoglio di titoli: se i tassi cambiano, attivi e passivi possono muoversi in misura diversa. L’immunizzazione finanziaria costruisce il portafoglio degli attivi in modo che questo divario non diventi mai sfavorevole, almeno per piccole variazioni dei tassi.
1. Il problema
Tre situazioni tipiche: le compagnie vita (devono pagare capitali o rendite a date prefissate, avendo investito i premi in obbligazioni); i fondi pensione (passività ben definite — le pensioni — da coprire con un portafoglio di attivi, il classico liability matching); le banche (raccolgono a breve e impiegano a lungo, con un disallineamento di duration che è la principale fonte di rischio di tasso). In tutti i casi il problema è lo stesso: far sì che il valore degli attivi non scenda sotto quello dei passivi quando i tassi si muovono.
2. Il portafoglio e la sua duration
Un portafoglio è un insieme di titoli, ciascuno detenuto in una quota \(\Theta_j\ge 0\). Se il titolo \(j\) paga \(x_{j,k}\) all’epoca \(t_k\), l’entrata complessiva del portafoglio in \(t_k\) è \(\Theta_k=\sum_j \Theta_j\,x_{j,k}\): la successione \(\{\Theta_k\}\) è lo scadenzario del portafoglio, che si tratta come un unico flusso. Poiché il prezzo è additivo, lo è anche la duration: detta \(\alpha_j=V_j/V_{\text{tot}}\) la quota in valore (\(\sum_j\alpha_j=1\)),
È il motore dell’immunizzazione: scegliendo le quote possiamo «costruire» una duration di portafoglio pari a un valore desiderato. Con due titoli di duration \(D_1 \lt D^{\star} \lt D_2\), esiste un’unica quota \(\alpha^{\star}=\dfrac{D_2-D^{\star}}{D_2-D_1}\) che realizza \(D_{\text{port}}=D^{\star}\).
3. Surplus e obiettivo dell’immunizzazione
Lavoriamo sotto l’ipotesi di struttura piatta al tasso \(i\). Date le entrate (attività) e le uscite (passività), con valori attuali \(V_E(i)\) e \(V_U(i)\), si definisce surplus la funzione
Immunizzare significa scegliere le quote del portafoglio di entrate in modo che, partendo da \(S(i_0)=0\) al tasso corrente \(i_0\), risulti \(S(i_0+\Delta i)\ge 0\) per ogni piccolo shift \(\Delta i\). Geometricamente: vogliamo che la curva \(V_E(i)\) stia sopra (o al più tangente) la curva \(V_U(i)\) in un intorno di \(i_0\).
4. Le tre condizioni di immunizzazione
Il portafoglio è immunizzato contro piccoli shift additivi se valgono contemporaneamente:
\[ \textbf{(C1)}\quad V_E(i_0)=V_U(i_0), \qquad \textbf{(C2)}\quad D_E(i_0)=D_U(i_0), \qquad \textbf{(C3)}\quad D^{(2)}_E(i_0)\ge D^{(2)}_U(i_0). \]C1 — vincolo di bilancio. Al tasso corrente il valore degli attivi eguaglia quello dei passivi: si investe esattamente quanto serve a coprire il valore attuale delle passività (\(S(i_0)=0\)). Se gli attivi valessero meno, l’immunizzazione sarebbe impossibile senza nuove risorse.
C2 — vincolo di duration. Uguagliando le duration si azzera la derivata prima del surplus: \(S'(i_0)=0\). Entrate e uscite reagiscono allo stesso modo a un piccolo shock di tasso, e le due variazioni si compensano. È l’analogo, sui tassi, di un portafoglio «neutrale».
C3 — vincolo di dispersione. Con C1 e C2 il surplus ha valore e derivata prima nulli in \(i_0\): domina allora il termine di secondo ordine dello sviluppo di Taylor,
Poiché \(h^{2}\ge 0\), il surplus è non negativo se e solo se \(D^{(2)}_E\ge D^{(2)}_U\): le entrate devono essere più disperse nel tempo delle uscite. Intuitivamente, gli attivi (più convessi) recuperano di più quando i tassi scendono e perdono di meno quando salgono.
Caso di uscita unica. Se le passività sono un solo pagamento, bastano C1 e C2: la dispersione C3 è automaticamente soddisfatta. È il contenuto del teorema di Fisher–Weil, e il motivo per cui gli esercizi con uscita unica si risolvono con un sistema di due sole equazioni.
5. Il teorema di Fisher–Weil
Teorema (Fisher–Weil, 1971 — caso uscita unica). Sia data un’uscita \(L \gt 0\) all’epoca \(T\) e un flusso di entrate non negative con lo stesso valore attuale di \(L\) (C1). Se entrate e uscita hanno la stessa duration all’epoca zero (C2), allora per ogni shift additivo \(h\) dell’intensità si ha \(V_E(\delta+h)\ge V_U(\delta+h)\).
L’idea della dimostrazione: si studia il rapporto \(Z(h)=V_E(\delta+h)/V_U(\delta+h)=\sum_k\beta_k\,e^{-h(t_k-T)}\) (con \(\beta_k\) i valori attuali normalizzati delle entrate). Esso è convesso (derivata seconda \(\ge 0\)) e ha derivata prima nulla in \(h=0\) proprio grazie a C2; quindi \(h=0\) è un minimo e \(Z(h)\ge Z(0)=1\), cioè \(V_E\ge V_U\) per ogni shock. Con più uscite serve in più la condizione di dispersione C3.
6. Esempio svolto
Immunizzare un’uscita unica con due ZCB
Uscita \(L=500\) all’epoca \(t=2\); titoli \(z_1=\{100\}/\{1\}\) (prezzo \(95\)) e \(z_2=\{110\}/\{3\}\) (prezzo \(96\)); \(i=5\%\). Il valore della passività è \(V_U=500\,(1{,}05)^{-2}=453{,}51\), con duration \(D_U=2\). Un’unità di \(z_1\) vale \(95{,}24\) (duration 1), una di \(z_2\) vale \(95{,}02\) (duration 3). Trattandosi di uscita unica bastano C1 e C2:
\[ 95{,}24\,\Theta_1+95{,}02\,\Theta_2=453{,}51, \qquad 95{,}24\,\Theta_1\cdot1+95{,}02\,\Theta_2\cdot3=453{,}51\cdot2. \]Risolvendo: \(\Theta_1\approx 2{,}381\), \(\Theta_2\approx 2{,}386\). Il costo ai prezzi di mercato è \(95\cdot2{,}381+96\cdot2{,}386\approx 455{,}28\) euro.
| Tasso \(i\) | \(V_E(i)\) | \(V_U(i)\) | Surplus |
|---|---|---|---|
| 3% | 471,38 | 471,30 | +0,09 |
| 4% | 462,30 | 462,28 | +0,02 |
| 5% = i₀ | 453,51 | 453,51 | ≈ 0 |
| 6% | 445,02 | 445,00 | +0,02 |
| 7% | 436,80 | 436,72 | +0,08 |
| 10% | 413,67 | 413,22 | +0,45 |
7. Estensioni e prassi di gestione
Ottimo a costo minimo. Quando i titoli disponibili sono molti, i tre vincoli non esauriscono i gradi di libertà: si cerca allora il portafoglio a costo minimo tra quelli ammissibili, un problema di programmazione lineare con i vincoli C1–C3.
Immunizzazione dinamica. Le condizioni valgono istantaneamente in \(i_0\); col tempo i tassi si muovono e le duration cambiano (i titoli si avvicinano a scadenza), quindi il portafoglio va ribilanciato periodicamente, bilanciando costi di transazione e precisione.
Limiti e alternative. La teoria assume uno shift additivo (parallelo) e piccolo: nella realtà la curva cambia anche pendenza e forma, e shock grandi violano l’approssimazione di Taylor. Alternative e raffinamenti: il cash-flow matching (si abbinano i flussi uno a uno: più sicuro ma più costoso), la key rate duration (contro variazioni non parallele) e l’approccio LDI (Liability Driven Investing) dei fondi pensione.
8. Esercizi
- Una compagnia deve pagare \(200\,000\) euro tra 5 anni e \(200\,000\) euro tra 11 anni, con \(i_0=6\%\). Calcolare \(V_U\) e \(D_U\), poi le quote per immunizzare con due ZCB a 3 e 15 anni; verificare C3.
- Spiegare perché, usando un unico ZCB con scadenza pari a \(D_U\), valgono C1 e C2 ma C3 è al limite (\(D^{(2)}_E=D^{(2)}_U\)).
- Con \(V_E=V_U=500\,000\) euro, \(D^{(2)}_E-D^{(2)}_U=8\) anni\(^2\) e \(i_0=5\%\), stimare il surplus dopo uno shock \(h=-1{,}5\%\) con \(S\approx\frac{V_0 h^2}{2(1+i_0)^2}(D^{(2)}_E-D^{(2)}_U)\).
- Discutere perché il cash-flow matching è più sicuro ma più costoso dell’immunizzazione classica.
«Immunizzare non significa eliminare il rischio, ma trasformarlo da rischio di perdita in opportunità di guadagno.»
