Interpretazione della duration - UNIVERSITÀ INCLUSIVA

Sostituisce ogni formula con il suo codice LaTeX ( $…$ / $$…$$), leggibile e copiabile con lo screen reader. Scorciatoia: Alt+Shift+L.

Nel modulo precedente abbiamo definito la duration. Qui la interpretiamo come volatilità del prezzo di un titolo rispetto al tasso, ne discutiamo i limiti (l’approssimazione lineare) e introduciamo la convexity, che corregge la stima per variazioni di tasso più ampie. È il linguaggio con cui gli operatori misurano il rischio di tasso di un’obbligazione.

1. Prezzo e rischio di tasso

Il prezzo di un titolo è la somma dei suoi flussi scontati: $P=V(i)=\sum_{s=1}^{n} R_s\,(1+i)^{-s}$ (oppure $V(\delta)=\sum_s R_s\,e^{-\delta s}$ con l’intensità). Dopo l’acquisto, il rischio principale è che cambino i tassi dei titoli analoghi di nuova emissione: se i tassi salgono il titolo si deprezza (deve allinearsi ai nuovi rendimenti), se scendono si apprezza. Per quantificare l’ampiezza di queste oscillazioni si studia la derivata del prezzo rispetto al tasso.

2. La duration come volatilità

Nel continuo, derivando $V(\delta)$ rispetto all’intensità e dividendo per il prezzo si ottiene proprio la duration (col segno meno, perché prezzo e tasso si muovono in versi opposti):

\[ \frac{1}{V(\delta)}\frac{dV(\delta)}{d\delta}=-\frac{\sum_s s\,R_s\,e^{-\delta s}}{\sum_s R_s\,e^{-\delta s}}=-D(\delta). \]

La duration assume così il significato di volatilità del prezzo: quanto maggiore è $D$, tanto più il prezzo reagisce a una variazione del tasso. Titoli a duration alta sono quindi considerati più rischiosi (forti oscillazioni di prezzo), quelli a duration bassa più stabili.

Passando dal continuo al discreto, la volatilità non coincide più esattamente con la duration: bisogna dividere per $(1+i)$, ottenendo la duration modificata:

\[ \frac{1}{V(i)}\frac{dV(i)}{di}=-\frac{D(i)}{1+i}. \]

Con lo sviluppo di Taylor arrestato al primo ordine si stima allora la variazione percentuale del prezzo come proporzionale allo shift del tasso e alla duration:

\[ \frac{V(\delta+\Delta\delta)-V(\delta)}{V(\delta)}\cong -D(\delta)\,\Delta\delta \qquad\text{(continuo)}, \qquad \frac{\Delta V}{V}\cong -\frac{D(i)}{1+i}\,\Delta i \quad\text{(discreto).} \]

(In questo modulo i confronti e gli esponenti sono stati ricontrollati: nella vecchia pagina alcuni $-s$ erano diventati $-5$, comparivano $\theta$ al posto di $\delta$, e refusi come «Valatility»/«Covexity».)

3. La convexity

La stima con la sola duration misura la variazione sulla retta tangente alla curva prezzo–tasso: è buona per piccoli shift, ma per variazioni ampie l’errore cresce, perché la funzione $V(i)$ è curva (convessa). Per tenerne conto si introduce la convexity, legata alla derivata seconda del prezzo. Nel continuo coincide con la duration di secondo ordine; nel discreto vale

\[ \frac{V”(\delta)}{V(\delta)}=D^{(2)}(\delta), \qquad \frac{V”(i)}{V(i)}=\frac{1}{(1+i)^{2}}\big(D^{(2)}(i)+D(i)\big). \]

Estendendo Taylor al secondo ordine, la variazione percentuale del prezzo diventa:

\[ \frac{\Delta V}{V}\cong -\,\text{(volatilità)}\cdot\Delta i+\tfrac12\,\text{(convexity)}\cdot(\Delta i)^{2}. \]

Perché la convexity è desiderabile

Il termine di convexity è quasi sempre positivo: attenua la perdita quando i tassi salgono e accentua il guadagno quando scendono. La stima con la sola duration è invece simmetrica (stessa variazione in su e in giù), mentre i prezzi reali reagiscono in modo asimmetrico. Per questo, a parità di duration, gli operatori preferiscono titoli a convexity più alta.

4. Come si usano in pratica

Duration e convexity sono usate soprattutto come indicatori sintetici di rischio, facilmente confrontabili tra titoli, per scegliere tra investimenti alternativi. Per stimare numericamente una variazione di prezzo, in pratica, conviene spesso calcolarla in modo esatto sulla funzione $V(i)$ (che conosciamo); l’approssimazione di Taylor resta però fondamentale per capire quali caratteristiche del titolo ne governano il rischio. La duration è inoltre lo strumento chiave dell’immunizzazione, nel prossimo modulo.

5. Esercizi

Per l’obbligazione $\{3;3;3;3;103\}/\{1;2;3;4;5\}$ al tasso $i=3\%$ (prezzo alla pari, $V=100$), calcolare duration e duration di secondo ordine.
Stimare con la sola duration la variazione di prezzo per $\Delta i=+1\%$ e $\Delta i=-1\%$, e osservare la simmetria della stima.
Aggiungere il termine di convexity e verificare che corregge la stima in modo asimmetrico.
Spiegare perché, a parità di duration, un titolo a convexity maggiore è preferibile.