La legge esponenziale e le sue proprietà

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Quando si valutano più importi disponibili a date diverse, serve un modo coerente per «portarli» tutti a una stessa epoca e confrontarli. In regime di interesse composto questo si fa con la legge esponenziale, che possiede alcune proprietà notevoli — in particolare la scindibilità — che la rendono la legge di riferimento di tutta la finanza. In questo modulo definiamo il valore di un’operazione finanziaria, le operazioni eque, e dimostriamo le proprietà che caratterizzano la legge esponenziale.

1. Valore di un’operazione finanziaria

Riprendiamo la notazione del primo modulo: un’operazione finanziaria è una coppia di vettori $x/t=\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}/\{t_1,t_2,\ldots,t_n\}$, dove gli $x_k$ sono gli importi (positivi se incassi, negativi se pagamenti) e i $t_k$ le rispettive scadenze. Per valutare l’operazione dobbiamo riportare ogni importo a una stessa epoca di riferimento, tramite la legge di capitalizzazione. Scegliamo la legge esponenziale con intensità $\delta$ (equivalentemente, tasso annuo $i=e^{\delta}-1$).

Il valore attuale di un singolo importo $x_k$, riferito all’istante $t=0$, si ottiene scontandolo per il tempo $t_k$:

\[ A(0,x_k)=x_k\,e^{-\delta\,t_k}, \qquad k=1,2,\ldots,n. \]

Il valore attuale dell’operazione è semplicemente la somma dei valori attuali dei singoli flussi. Poiché $e^{-\delta}=(1+i)^{-1}$, possiamo scriverlo indifferentemente con $\delta$ o con $i$:

\[ A(0,x)=\sum_{k=1}^{n} x_k\,e^{-\delta\,t_k} = \sum_{k=1}^{n} x_k\,(1+i)^{-t_k}. \]

Se invece di «oggi» vogliamo il valore a un’epoca generica $t \gt 0$, basta capitalizzare il valore attuale dall’epoca 0 all’epoca $t$ con il fattore $e^{\delta t}$. Sostituendo la definizione di valore attuale si ottiene una formula molto compatta: ogni importo viene trasferito dalla propria distanza $t-t_k$ dall’epoca di valutazione.

\[ M(t,x)=A(0,x)\,e^{\delta t}=\sum_{k=1}^{n} x_k\,e^{\delta(t-t_k)}=\sum_{k=1}^{n} x_k\,(1+i)^{\,t-t_k}. \]

Il fattore $(1+i)^{\,t-t_k}$ capitalizza gli importi con scadenza precedente a $t$ (esponente positivo) e attualizza quelli con scadenza successiva (esponente negativo): è lo stesso meccanismo, letto in avanti o all’indietro nel tempo a seconda del segno dell’esponente.

2. Operazioni eque

Un’operazione finanziaria $x$ si dice equa al tempo $t$, conformemente alla legge esponenziale adottata, se il suo valore in quell’epoca è nullo: $M(t,x)=0$ (equivalentemente $A(0,x)=0$). L’idea economica è semplice: ciò che si dà e ciò che si riceve, valutati alla stessa data e allo stesso tasso, si bilanciano esattamente; né chi paga né chi incassa ha un vantaggio sistematico. Un’obbligazione emessa a un prezzo «giusto», un mutuo al tasso di mercato, sono operazioni eque.

Un’osservazione utile: un’operazione non può essere equa se tutti gli importi hanno lo stesso segno (una somma di addendi tutti positivi, o tutti negativi, non può fare zero). Deve quindi esistere almeno un importo di segno opposto agli altri: in pratica, a fronte di uno o più pagamenti ci devono essere uno o più incassi.

Esempio — costruire un’operazione equa

Partiamo dall’operazione $\{3;103\}/\{0{,}25;0{,}75\}$ e valutiamola in regime esponenziale al tasso annuo $i=5\%$. Il suo valore attuale è \[ A(0,x)=3\cdot 1{,}05^{-0{,}25}+103\cdot 1{,}05^{-0{,}75}=2{,}9636+99{,}2991=102{,}2627. \] Per rendere l’operazione equa basta aggiungere in $t=0$ un pagamento pari proprio a quel valore attuale (con segno negativo): \[ \{-102{,}2627;\,3;\,103\}/\{0;\,0{,}25;\,0{,}75\}. \] Ora il valore attuale complessivo è zero: l’esborso iniziale di 102,2627 «paga» esattamente i due incassi futuri.

3. Le proprietà funzionali della legge esponenziale

La legge esponenziale gode di quattro proprietà che, prese insieme, ne fanno una legge particolarmente «ben educata». Non valgono per una legge di capitalizzazione qualsiasi: sono proprio queste a distinguere l’interesse composto dagli altri regimi.

Invarianza — se un’operazione è equa a un certo istante, lo è in qualunque altro istante. L’equità non dipende dall’epoca in cui la si verifica.
Additività — se due operazioni sono eque a uno stesso istante, allora anche la loro somma (l’operazione ottenuta unendo gli scadenzari e sommando gli importi) è equa a quello stesso istante.
Uniformità nel tempo — se un’operazione è equa all’istante $t$, l’operazione ottenuta traslando tutte le scadenze di un intervallo di lunghezza $\tau$ è equa all’istante $t+\tau$, secondo la stessa legge.
Scindibilità — capitalizzare in un’unica soluzione, oppure spezzare l’operazione in due tappe consecutive, dà lo stesso risultato (la approfondiamo qui sotto).

Le prime tre si dimostrano in poche righe. L’invarianza segue dal fatto che il valore a un istante $t’$ si ottiene da quello a $t$ moltiplicando per una costante positiva, $M(t’,x)=M(t,x)\,e^{\delta(t’-t)}$: se $M(t,x)=0$, anche $M(t’,x)=0$. L’additività discende dalla proprietà additiva delle sommatorie (il valore della somma è la somma dei valori). L’uniformità esprime che traslare nel tempo un’operazione equa la lascia equa, alla data traslata della stessa quantità. (Nota di revisione: nella vecchia pagina la traslazione e l’istante erano indicati con la stessa lettera $t$; qui usiamo $\tau$ per la traslazione per evitare l’ambiguità.)

4. Scindibilità

La scindibilità è la proprietà più importante. In termini di fattori di sconto, una legge è scindibile se vale l’equazione funzionale

\[ v(t_0,t_2)=v(t_0,t_1)\cdot v(t_1,t_2), \qquad t_0 \lt t_1 \lt t_2, \]

o, in modo equivalente, in termini di fattori di capitalizzazione, date tre epoche $x \lt y \lt z$:

\[ r(x,z)=r(x,y)\cdot r(y,z). \]

Il significato è concreto: il montante ottenuto capitalizzando un capitale $C$ tutto d’un fiato dall’epoca $x$ all’epoca $z$ coincide con quello ottenuto capitalizzando prima da $x$ a $y$, e poi capitalizzando il risultato da $y$ a $z$. Spezzare o non spezzare l’operazione non cambia nulla.

Verifichiamolo per la legge esponenziale. Capitalizzando $C$ per il tempo $t_1$ e poi per $t_2$:

\[ M=C\,(1+i)^{t_1}\,(1+i)^{t_2}=C\,(1+i)^{t_1+t_2}, \qquad M_2=C\,(1+i)^{t_1+t_2}, \qquad\Longrightarrow\qquad M=M_2. \]

I due montanti coincidono: la legge esponenziale è scindibile. Confrontiamo ora con l’interesse semplice:

\[ M_2=C\,(1+i\,t_1)(1+i\,t_2)=C\,(1+i\,t_1+i\,t_2+i^{2}t_1 t_2), \qquad M=C\,[\,1+i(t_1+t_2)\,]=C\,(1+i\,t_1+i\,t_2). \]

Qui $M_2 \gt M$: i due risultati differiscono per il termine $C\,i^{2}t_1 t_2 \gt 0$. L’interesse semplice non è scindibile: chi spezza l’operazione e reinveste guadagna di più di chi la lascia intera. È proprio questo «di più» a generare l’interesse-sull’interesse, cioè a trasformare di fatto l’interesse semplice in composto non appena gli interessi vengono reinvestiti.

Perché la scindibilità conta

Una legge non scindibile apre la porta a incoerenze: a parità di durata e di tasso, due modi diversi di organizzare la stessa operazione darebbero risultati diversi, e si potrebbe sfruttare la differenza. La scindibilità garantisce invece che il valore di una somma dipenda solo da «quanto» e «quando», non da come si frammenta il percorso temporale. È la condizione di coerenza su cui si fonda la valutazione delle operazioni finanziarie.

Teorema (caratterizzazione)

Una legge di capitalizzazione (regolare) è scindibile se e solo se la sua forza d’interesse è costante, cioè non dipende dall’epoca $t$. Tra i tre regimi, infatti, solo l’interesse composto ha forza d’interesse costante ($\delta(t)=\ln(1+i)$); l’interesse semplice ha $\delta(t)=\dfrac{i}{1+i\,t}$ (decrescente) e lo sconto commerciale $\delta(t)=\dfrac{d}{1-d\,t}$ (crescente). Ne segue che l’unica legge di capitalizzazione uniforme e scindibile è la legge esponenziale.

5. Scomposizione di un’operazione finanziaria

Spesso è comodo scomporre un’operazione $x/t$ nella somma di operazioni più semplici. Vediamo i due modi più usati.

5.1 Incassi e pagamenti

Si possono separare gli importi positivi da quelli negativi, ottenendo un’operazione dei soli incassi $y/t$ e una dei soli pagamenti $z/t$. Se l’operazione di partenza è equa, allora il valore degli incassi eguaglia (in valore assoluto) quello dei pagamenti:

\[ M(t,y)=-M(t,z), \qquad\text{poiché}\qquad M(t,x)=M(t,y)+M(t,z)=0. \]

Esempio

Scomponiamo $x/t=\{-10{,}577;\,11;\,-99;\,102{,}96\}/\{0;\,1;\,2;\,3\}$, equa al tasso annuo $i=4\%$. Gli incassi e i pagamenti sono \[ y/t=\{0;\,11;\,0;\,102{,}96\}/\{0;1;2;3\}, \qquad z/t=\{-10{,}577;\,0;\,-99;\,0\}/\{0;1;2;3\}. \] Calcolando i valori attuali: \[ A(0,y)=11\cdot 1{,}04^{-1}+102{,}96\cdot 1{,}04^{-3}=10{,}577+91{,}531=102{,}108, \] \[ A(0,z)=-10{,}577-99\cdot 1{,}04^{-2}=-10{,}577-91{,}531=-102{,}108. \] Come previsto dall’ipotesi di equità, $A(0,y)=-A(0,z)$.

5.2 Montante e valore residuo a un’epoca $t$

L’altro modo è separare gli importi già scaduti a una certa epoca $t$ da quelli ancora da scadere. Chiamiamo montante in $t$ la somma dei montanti degli importi con scadenza precedente a $t$, e valore residuo in $t$ la somma dei valori attuali (in $t$) degli importi successivi:

\[ M'(t,x)=\sum_{k\,:\,t_k \lt t} x_k\,e^{\delta(t-t_k)}, \qquad V(t,x)=\sum_{k\,:\,t_k \gt t} x_k\,e^{-\delta(t_k-t)}, \qquad M(t,x)=M'(t,x)+V(t,x). \]

Se l’operazione è equa, in qualunque istante $t$ si ha $M'(t,x)=-V(t,x)$: il montante di ciò che è già passato bilancia il valore di ciò che resta. È la stessa idea che, nei piani di ammortamento, lega quanto già pagato e debito residuo.

Esempio — con e senza equità

Sia $x/t=\{-100;\,2;\,2;\,2;\,102\}/\{0;\,0{,}5;\,1;\,1{,}5;\,2\}$, valutata con intensità $\delta=0{,}04$, in $t=1$: \[ M'(1,x)=-100\,e^{0{,}04}+2\,e^{0{,}02}+2=-104{,}081+2{,}040+2=-100{,}041, \] \[ V(1,x)=2\,e^{-0{,}02}+102\,e^{-0{,}04}=1{,}960+98{,}001=99{,}961. \] I due valori non coincidono: l’operazione, a questo $\delta$, non è equa. Se invece scegliamo $\delta=0{,}0396$ (corrispondente a $i\approx 4{,}04\%$, cioè a un tasso semestrale equivalente del $2\%$), l’operazione diventa equa e infatti \[ M'(1,x)=-104{,}04+2{,}04+2=-100, \qquad V(1,x)=1{,}9608+98{,}0392=100, \] con $M'(1,x)=-V(1,x)$.

6. Esercizi

Verificare che l’operazione $\{-102{,}2627;\,3;\,103\}/\{0;\,0{,}25;\,0{,}75\}$ è equa al tasso $i=5\%$, calcolandone il valore attuale.
Dimostrare la proprietà di invarianza: se $A(0,x)=0$, allora $M(t,x)=0$ per ogni $t$ (suggerimento: $M(t,x)=A(0,x)\,e^{\delta t}$).
Mostrare con un esempio numerico che l’interesse semplice non è scindibile: scegliere $i$, $t_1$, $t_2$ e confrontare $r(t_1)\,r(t_2)$ con $r(t_1+t_2)$.
Data l’operazione $\{-100;\,40;\,70\}/\{0;\,1;\,2\}$, trovare il tasso $i$ che la rende equa (anticipazione del concetto di tasso interno di rendimento, modulo successivo).

Suggerimento per l’esercizio 3

Con $i=10\%$, $t_1=t_2=1$: $r(1)\,r(1)=1{,}1\cdot 1{,}1=1{,}21$, mentre $r(2)=1+0{,}1\cdot 2=1{,}20$. Poiché $1{,}21\neq 1{,}20$, la legge non è scindibile.