Il Capital Asset Pricing Model (CAPM) — Modelli Matematici per le Scelte di Portafoglio

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Capital Asset Pricing Model (CAPM)

Una ormai classica estensione della Teoria del Portafoglio introdotta nel precedente Capitolo è quella che prevede anche la possibilità di inserire in portafoglio un titolo a rendimento certo, e che naturalmente modifica la natura della frontiera efficiente.

Il Capital Asset Pricing Model (da ora in poi, abbreviato in CAPM) fu inizialmente proposto da William Sharpe nel $1964$, ha come intento quello di sintetizzare in un unico parametro, o indice, per cui si è sempre usata la lettera greca beta, le informazioni necessarie su rendimento e rischiosità di ogni singolo titolo. Ma andiamo con ordine.

Derivazione ed Interpretazione del CAPM

Il CAPM è un modello di equilibrio di mercato che si basa su alcune importanti ipotesi relative alle preferenze degli investitori, e che precisiamo fin dall’inizio:

ci sono $N$ titoli rischiosi nel mercato, ed uno soltanto non rischioso², già identificato con il punto $(0,M^*)$;
il titolo privo di rischio si può vendere allo scoperto, in qualsiasi quantità;
$p_0$ è la quota di portafoglio che viene investita nel titolo non rischioso, e se $p_0<0$, il titolo certo viene venduto allo scoperto, cioè l’investitore si sta indebitando al tasso di rendimento periodale del titolo non rischioso;
il vettore dei pesi relarivi agli $N$ titoli è $(p_1, \ldots , p_N)$ e la somma di tutti i pesi, $p_0$ compreso, ammonta a $1$;
tutti gli individui che investono sul mercato seguono un criterio Media-Varianza, sono avversi al rischio, investono sullo stesso orizzonte temporale;
non ci sono costi di transazione nè imposte e tutti gli individui fanno le stesse valutazioni sui rendimenti attesi e sulle volatilità e sulle correlazioni dei titoli³;
il portafoglio di tangenza $T$ precedentemente introdotto coincide con il portafoglio di mercato $\mathcal {M}$.

Inizialmente, definiamo $\mathcal {M}=(\sigma _{\mathcal {M}},M_{\mathcal {M}})$ il portafoglio di mercato, ossia un portafoglio che contiene tutti i titoli presenti sul mercato, suddivisi esattamente in base al valore che ognuno di essi rappresenta rispetto al valore complessivo di tutti i titoli di mercato.

Riscriviamo ora l’equazione della CML, cioè la frontiera efficiente, come semiretta uscente da $(0,M^*)$ e passante per il portafoglio di mercato $\mathcal {M}$: \begin {equation*} M = \dfrac {M_{\mathcal {M}} – M^*}{\sigma _{\mathcal {M}}} \sigma + M^*. \end {equation*} Sappiamo che, essendo essa la frontiera efficiente, ogni portafoglio efficiente $P$ di rendimento medio $M_P$ e volatilità $\sigma _P$ dovrà verificare la stessa relazione, per cui: \begin {equation*} M_P = \dfrac {M_{\mathcal {M}} – M^*}{\sigma _{\mathcal {M}}} \sigma _P + M^*, \end {equation*} o anche, equivalentemente: \begin {equation*} M_P – M^* = \dfrac {M_{\mathcal {M}} – M^*}{\sigma _{\mathcal {M}}} \sigma _P, \end {equation*} che fondamentalmente afferma che il maggior rendimento di un qualsiasi portafoglio efficiente rispetto al rendimento certo corrisponde alla sua volatilità moltiplicata per un fattore che non dipende da $P$, e che invece è il rapporto tra il ’delta’ di rendimento atteso tra il portafoglio di mercato e quello del titolo certo e la volatilità del portafoglio di mercato. Questa quantità, di fatto il coefficiente anfolare della CML, prende la denominazione di prezzo di mercato del rischio.

Un imprtante risultato successivo riguarda la covarianza tra il portafoglio di mercato e un qualsiasi altro portafoglio sulla CML. Supponiamo di considerare $P = (\sigma _P,M_P)$, con $\sigma _P>0$, costruito nel seguente modo: \[P = \dfrac {\sigma _P}{\sigma _{\mathcal {M}}} \mathcal {M} + \left (1 – \dfrac {\sigma _P}{\sigma _{\mathcal {M}}} \right ) M^*,\] e calcoliamone il valore atteso: \[M_P = \dfrac {\sigma _P}{\sigma _{\mathcal {M}}} M_{\mathcal {M}} + \left (1 – \dfrac {\sigma _P}{\sigma _{\mathcal {M}}} \right ) M^* = M^* + \dfrac {\sigma _P}{\sigma _{\mathcal {M}}} (M_{\mathcal {M}} – M^*).\] Chiamando rispettivamente $i_P$, $i_{\mathcal {M}}$ e $i^*$ i tassi di rendimento del portafoglio $P$, del portafoglio di mercato $\mathcal {M}$ e del titolo certo, notiamo che vale: \[i_P = \dfrac {\sigma _P}{\sigma _{\mathcal {M}}} i_{\mathcal {M}} + \left (1 – \dfrac {\sigma _P}{\sigma _{\mathcal {M}}} \right ) i^*,\] e dunque, per le proprietà della covarianza, avremo: \[\text {Cov}(P,\mathcal {M}) = \text {Cov}(i_P, i _{\mathcal {M}}) = \text {Cov} \left (\dfrac {\sigma _P}{\sigma _{\mathcal {M}}} i_{\mathcal {M}}, i_{\mathcal {M}} \right ) = \dfrac {\sigma _P}{\sigma _{\mathcal {M}}} \sigma ^2_{\mathcal {M}} = \sigma _P \sigma _{\mathcal {M}}.\] Quest’ultima relazione costituisce il fondamento della formula fondamentale del CAPM. Infatti, sostituendo nell’espressione che mette in relazione i maggiori rendimenti attesi dei portafogli rispetto al rendimento certo, avremo che, dato un qualunque portafoglio $P$, non necessariamente efficiente: \begin {equation} M_P – M^* = \dfrac {\text {Cov}(P,\mathcal {M})}{\sigma ^2_{\mathcal {M}}} (M_{\mathcal {M}} – M^*). \label {CAPMdibase} \end {equation} La relazione (6.2.1) è quindi valida su ogni coppia di portafogli, di cui uno sia efficiente, e l’altro sia nell’insieme possibile. Una conseguenza immediata riguarda la diversificazione del rischio. Prendendo un qualsiasi titolo $A_j$, di rendimento medio $M_j$ e volatilità $\sigma _j$, possiamo riscrivere la relazione come segue: \begin {equation*} M_j – M^* = \dfrac {\text {Cov}(A_j,\mathcal {M})}{\sigma ^2_{\mathcal {M}}} (M_{\mathcal {M}} – M^*) \end {equation*} \[\Downarrow \] \begin {equation*} M_j = M^* + \dfrac {\text {Cov}(A_j,\mathcal {M})}{\sigma _{\mathcal {M}}} \dfrac {M_{\mathcal {M}} – M^*}{\sigma _{\mathcal {M}}}, \end {equation*} evidenziando che di fatto, il rendimento di qualsiasi titolo è uguale alla somma tra il rendimento dell’impiego sicuro più un prodotto di $2$ fattori, uno dei quali è il prezzo di mercato del rischio, mentre l’altro contiene l’informazione sulla correlazione tra il titolo e il portafoglio di mercato. Ora, diamo un nome al coefficiente cruciale per la nostra analisi, chiamandolo ’beta’⁴: \begin {equation} \beta _j = \dfrac {\text {Cov}(A_j,\mathcal {M})}{\sigma ^2_{\mathcal {M}}}, \label {betadiuntitolo} \end {equation} e dato un portafoglio composto dalle quote $x_j$ dei titoli $A_j$, cioè $P = \sum _{j} x_j A_j$, definiamo anche il $\beta _P$ di portafoglio: \begin {equation} \beta _P = \dfrac {\text {Cov}(P,\mathcal {M})}{\sigma ^2_{\mathcal {M}}} = \sum _{J=1}^N x_j \beta _j. \label {betadiportafoglio} \end {equation}

A questo punto riformuliamo le equazioni lineari precedenti con i beta: \[M_j = M^* + \beta _j (M_{\mathcal {M}} – M^*), \qquad \qquad M_P = M^* + \beta _P (M_{\mathcal {M}} – M^*).\] In definitiva, i beta misurano la tendenza del titolo $j$-esimo, o del portafoglio $P$, a muoversi nella direzione del portafoglio di mercato $\mathcal {M}$, il cui beta è uguale a $1$. Inoltre, il beta è anche una specie di indice di sensibilità, che indica quanto un titolo, o un portafoglio, è soggetto ai movimenti di mercato. Per cui:

se $\beta _P = 0$, il portafoglio $P$ è ortogonale al portafoglio di mercato $\mathcal {M}$, quindi i $2$ portafogli sono scorrelati;
se $\beta _P = 1$, i portafogli $P$ ed $\mathcal {M}$ si trovano alla stessa altezza sul piano Rischio – Rendimento, quindi $P$ ha lo stesso rendimento atteso del mercato;
se $\beta _P > 1$, il rendimento di $P$ risulta maggiore di quello di $\mathcal {M}$, quindi il mercato risulta maggiormente ’movimentato’ da questo portafoglio;
se $\beta _P < 1$, il rendimento di $P$ risulta minore di quello di $\mathcal {M}$, per cui in questo caso il portafoglio $P$ non amplifica i movimenti del mercato, bensì lo attenua;
se $\beta _P < 0$, il rendimento medio di $P$ è minore di quello del titolo certo.

Per quanto riguarda le volatilità, considerando un titolo $A_j$ interno all’insieme possibile, dalla Figura $12$ possiamo evincere alcune informazioni.

Figura 12. Capital Market Line dal rendimento privo di rischio M-asterisco attraverso il portafoglio di mercato; il titolo A con indice j giace dentro la frontiera ed e confrontato con il portafoglio efficiente P, di pari rendimento ma rischio minore (sigma di P minore di sigma di j).

Il titolo $A_j$ ha rendimento medio più alto sia del portafoglio di mercato $\mathcal {M}$ sia del titolo certo, e quindi il $\beta _j$ corrispondente sarà maggiore di $1$. Inoltre, possiamo decomporre la sua volatilità $\sigma _j$ in due componenti sommate tra di loro. Come si vede in Figura, sulla CML c’è un punto $P$ che ha lo stesso rendimento medio di $A_j$ ma naturalmente volatilità $\sigma _P < \sigma _j$. Quindi possiamo scrivere semplicemente \[\sigma _j = \sigma _P + (\sigma _j – \sigma _P),\] cioè come somma di $2$ componenti, una che corrisponde alla volatilità del portafoglio efficiente avente lo stesso rendimento medio di $A_j$, definita rischio sistematico, e una che invece è la differenza tra le due volatilità, che è detta componente di rischio eliminabile. L’eliminabilità del rischio è data dalla possibile diversificazione degli investimenti, cioè da una strategia che aumenti la numerosità dei titoli in modo da attenuare il rischio complessivo. Si vede facilmente che il rischio sistematico di un titolo misura il contributo marginale di quel titolo al rischio complessivo di mercato.

Un ultimo aspetto, di grande rilevanza, che ci fornisce il CAPM è la sua formulazione tramite una regressione. Sempre considerando un titolo $A_j$, e trasformando la relazione fondamentale in una espressione affine (cioè lineare ma traslata) del tipo: \[M_j – M^* = \alpha + \beta (M_{\mathcal {M}} – M^*) + \epsilon ,\] otteniamo una tipica retta di regressione lineare, in cui $\alpha $ e $\beta $ sono costanti ed $\epsilon $ rappresenta un termine di errore statistico. Imponendo la media dell’errore uguale a $0$, otteniamo \[\mathbb {E}[\epsilon ] = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad \alpha = M_j – M^* – \beta (M_{\mathcal {M}} – M^*).\] Nei modelli di regressione lineare, oltre ad annullare la media dell’errore, va minimizzata la varianza dell’errore, quindi la quantità \[\sigma ^2(\epsilon ) = \sigma ^2 + \beta ^2 \sigma ^2_{\mathcal {M}} – 2 \text {Cov}(M, M_{\mathcal {M}}),\] rispetto a $\beta $, minimizzazione che ha un’unica soluzione, e cioè il $\beta $ che già ben conosciamo, e che prende questa lettera anche nelle rette di regressione: \[\beta = \dfrac {\text {Cov}(M, M_{\mathcal {M}})}{\sigma ^2_{\mathcal {M}}}.\] Se si volesse validare empiricamente il CAPM tramite un test statistico, la cosa sarebbe evidentemente possibile, con l’unico inconveniente di dover scegliere correttamente il portafoglio di mercato da cui partire (e i relativi rendimento e volatilità).

²Va notato che nel modello si potrebbe anche inserire un unteriore titolo non rischioso, ma allora basterebbe sceglierne soltanto uno, cioè quello con rendimento maggiore, ’più in alto’ sull’asse del Rendimento.

³Questa ultima ipotesi è solitamente detta delle aspettative omogenee.

⁴Il beta è anche noto (meno) come indice di Treynor, dal cognome del suo inventore, un economista finanziario americano.

Esercizi Proposti

1. Dato il titolo non rischioso $(0, 50)$ e il titolo rischioso $(5,70)$, determinare la Capital Allocation Line e l’indice di Sharpe SR.

$[M(\sigma ) = 4 \sigma + 50; \ \ \ SR = 4]$

2. Dato il titolo non rischioso $(0, 25)$ e il titolo rischioso $(10,40)$, determinare il valore di $x^*$ tale che il punto $P^* = (\sigma ^*, 100)$ appartiene alla Capital Allocation Line. $[\sigma ^* = 50]$

3. Consideriamo un modello in cui ci sono i $2$ titoli azionari rischiosi che hanno i seguenti volatilità e rendimenti medi: \[A_1 = (0.3,0.04), \qquad \qquad A_2 = (0.4,0.1),\] e un titolo non rischioso $A_0 = (0,0.011)$. Dato l’indice di correlazione $\rho _{12} = 0,41$, calcolare l’indice di Sharpe e determinare l’equazione della CML. $[SR = 0,224; \qquad CML: M = 0,011 + 0,224 \sigma ]$

Bibliografia Consigliata

[B] Paolo Baldi, Calcolo delle Probabilità e Statistica, Milano, McGraw-Hill Libri Italia, $1998$.

[CDFM] Gilberto Castellani, Massimo De Felice, Franco Moriconi, Manuale di Finanza $2$, Bologna, Il Mulino, $2005$.

[EGBG] Edwin J. Elton, Martin J. Gruber, Stephen J. Brown, William N. Goetzmann, Teorie del portafoglio e analisi degli investimenti, Santarcangelo di Romagna (RN), Apogeo Education – Maggioli editore, $2007$.

[L] David G. Luenberger, Finanza e investimenti, Santarcangelo di Romagna (RN), Apogeo Education – Maggioli editore, $2011$.

[M] Franco Moriconi, Matematica Finanziaria, Bologna, Il Mulino, $1994$.

[O] Opzione (finanza), Wikipedia,
$http://it.wikipedia.org/wiki/Opzione_(finanza)$.

[PA] Arsen Palestini, sito docente UNIROMA1, dispense di Matematica Finanziaria,
$https://www.memotef.uniroma1.it/node/6239$.

[PR] Andrea Pascucci, Wolfgang Runggaldier, Finanza Matematica, Milano, Springer Italia, $2009$.

[R] Daniele Ritelli, Matematica Finanziaria, Bologna, Società Editrice Esculapio, $2013$.

[S] Giacomo Scandolo, Matematica Finanziaria, Padova, Amon Edizioni, $2013$.

[VNM] John von Neumann, Oskar Morgenstern, Theory of Games and Economic Behavior, Princeton, Princeton University Press, $1944$.