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Introduzione
Questa dispensa è pensata per il corso di Modelli Matematici per le Scelte di Portafoglio nel corso di Laurea Magistrale IFIR alla Facoltà di Economia alla Sapienza Università di Roma.
Il mio obiettivo è che comunque possa risultare utile anche a studenti e studentesse di altri Atenei e in altri ambiti, come un piccolo compendio di teoria e metodologie elementari di Teoria delle Decisioni Finanziarie o, se vogliamo, di una specie di ’Matematica Finanziaria \(2\)’ o ’Matematica Finanziaria Avanzata’.
Come è noto, nei corsi di Matematica Finanziaria dei corsi di laurea triennale, almeno nelle Università italiane, per la maggior parte i programmi sono incentrati sulle decisioni finanziarie in caso di certezza. In altre parole, i fenomeni aleatori, gli shock, le dinamiche dei tassi con una parte non deterministica, e altri eventi incerti non sono trattati o lo sono in piccolissima parte.
Ma sappiamo bene che quasi i tutti i fenomeni e i comportamenti finanziari realmente esistenti sono aleatori, e quindi il passaggio dalla trattazione della certezza a quello dell’incertezza aumenta notevolmente il ’realismo’ dei modelli e ci proietta molto più vicini a ciò che davvero accade ogni giorno sui mercati e nelle istituzioni finanziarie. Inoltre, un’altra differenza con la Matematica Finanziaria di base, è che la Teoria delle Decisioni è incentrata sulle scelte individuali e sui criteri di preferenza degli individui. Quindi, allo stesso tempo, fornisce una struttura matematica anche a quella parte di Economia teorica che studia l’utilità e i comportamenti razionali degli agenti.
In parte, questi appunti sono una rielaborazione e integrazione di alcuni capitoli di \(3\) testi fondamentali: il fortunato ’Manuale di Finanza Vol.\(2\): Teoria del Portafoglio e Mercato Finanziario’ di Gilberto Castellani, Massimo De Felice e Franco Moriconi [CDFM] (Il Mulino, Bologna, \(2005\)), il più recente ’Matematica Finanziaria’ (nei capitoli dall’\(8\) al \(10\)) di Giacomo Scandolo, pubblicato dalla casa editrice Amon di Padova nel \(2013\) e ’Teorie di Portafoglio e Analisi degli Investimenti’ di Edwin J. Elton, Martin J. Gruber, Stephen J. Brown e Wiiliam N. Goetzmann [EGBG], uscito nel \(2017\) per Apogeo, Maggioli Editore, Santarcangelo di Romagna (RN). Ho cercato di condensare i concetti fondamentali, mantenendo la trattazione discorsiva, riducendo al minimo le dimostrazioni e le derivazioni delle formule e inserendo qua e là esempi ed esercizi.
Un altro punto di riferimento per me è stato, come è tuttora, anche per la Matematica Finanziaria di base, il libro ’Matematica Finanziaria’ di Franco Moriconi [M] del \(1994\), edito anch’esso da Il Mulino. A mio personale parere, l’approccio fornito da quel libro è di grande importanza, perchè immerge del tutto il rigore matematico nelle applicazioni di finanza ’pratica’, con un taglio anche divulgativo. Nonostante abbia \(26\) anni di età, ne consiglio ancora molto la lettura, non solo e non necessariamente a studenti e studentesse, ma anche a chiunque voglia capire qualche principio e concetto economico-finanziario. Siamo in un’epoca in cui è assolutamente necessario che tutti e tutte migliorino le loro conoscenze su questi argomenti, e certi ottimi libri non vanno trascurati. In modo sintetico, saranno trattati alcuni cenni di Calcolo delle Probabilità di base, poi la Teoria delle Preferenze, la Teoria dell’Utilità, i criteri fondamentali delle scelte di portafoglio (come il modello di Markowitz), e infine \(2\) importanti modelli di grande rilevanza negli ultimi decenni come il Capital Asset Pricing Model (CAPM) e il Single Index Model (SIM).
Concludo questa breve Introduzione puntualizzando che queste dispense sono molto sintetiche e non sicuramente sufficienti per una preparazione molto approfondita, e di conseguenza consiglio fortemente e vivamente lo studio di uno o più dei libri sopra citati.
Incertezza e decisioni finanziarie
Dalla Certezza all’Incertezza nelle Situazioni Finanziarie
Abbiamo ora in mano una serie di strumenti adeguati a gestire problemi e descrivere modelli anche in situazioni di incertezza. Possiamo delineare il concetto di incertezza nei fenomeni finanziari e nei loro modelli anche mettendolo a confronto con il suo esatto opposto: la certezza. Quando parliamo di certezza, nella Matematica Finanziaria elementare, rappresentiamo un mondo che non ha elementi che non siano perfettamente determinati fin dall’inizio. Nell’ambito dell’incertezza, invece, troviamo in genere almeno una variabile aleatoria, discreta o continua, che ingloba i possibili esiti. Facciamo \(2\) semplici esempi di investimenti finanziari, uno certo e l’altro incerto.
Esempio 29. Consideriamo le seguenti operazioni finanziarie, scritte nella notazione standard della Matematica Finanziaria: \[{\bf {x/t}}=\left \{-97, \ 100\right \}/\left \{0, \ 1\right \},\] \[{\bf {y/t}}=\left \{-100, \ 5, \ 5, \ 5, \ 5, \ 5, \ 105\right \}/\left \{0, \ 1/2, \ 1, \ 3/2, \ 2, \ 5/2, \ 3\right \}.\] Entrambe indicano degli investimenti certi. La prima fa corrispondere alla spesa iniziale di \(97\) euro dell’investitore al tempo \(0\) un ricavo sicuro di \(100\) euro dopo \(1\) anno. Notare che può anche essere visto come l’acquisto al tempo \(0\) di un titolo obbligazionario (ad esempio, un classico BoT) il cui prezzo di emissione è \(97\) euro e il cui valore nominale di rimborso è, come di consueto, \(100\) euro.
La seconda è invece un BTp triennale a cedola fissa semestrale del \(5\%\), quotato alla pari, cioè con prezzo di acquisto uguale a valore di rimborso, al solito \(100\). Entrambi i titoli sono modellizzati con ricavi certi, nel primo caso il valore di rimborso, nel secondo caso il flusso cedolare da \(6\) mesi fino al terzo anno. Essendo Titoli di Stato, al netto di estreme criticità del mercato e di un possible default, eventualità comunque remotissima nella storia (comunque mai avvenuto negli ultimi decenni, nemmeno dopo la crisi \(2010\)–\(2011\)), gli importi scambiati in questa operazione sono certi.
Esempio 30. La prossima operazione finanziaria, che presenta il carattere dell’incertezza, è invece leggermente più complessa, in quanto coinvolge un’opzione binaria. Essa è forse il caso più semplice di titolo derivato, ossia che deriva il proprio valore da un altro titolo, cosiddetto il suo sottostante.
In particolare, parliamo di un’opzione call europea, che dà al possessore dell’opzione il diritto di comprare una o più azioni del titolo sottostante, alla scadenza della suddetta opzione. Gli elementi fondamentali di una operazione con un’opzione sono: il prezzo d’acquisto \(C_0\), il prezzo d’esercizio (strike price) \(k_C\), e il valore del titolo sottostante alla scadenza del contratto, generalmente indicato con una variabile aleatoria, ad esempio \(V\). Per semplificare al massimo, supponiamo che la durata del contratto d’opzione sia di \(1\) anno, ossia che venga venduta al tempo \(0\) e che scada al tempo \(1\), in cui chi la possiede deve decidere se esercitarla o non esercitarla.
Se al tempo finale il corso dell’azione sottostante é maggiore del prezzo d’esercizio, vale a dire \(V>k_C\), il possessore ha convenienza ad esercitare l’opzione. Infatti, comprando il titolo sottostante può immediatamente rivenderlo al prezzo corrente \(V\), e guadagnare quindi \(V-k_C-C_0\) da tutta l’operazione (\(C_0\) é il prezzo di acquisto iniziale), sempre se tale quantità é positiva.
Invece, chi ha emesso la call, subisce una perdita, in quanto deve acquistare un’azione al prezzo corrente \(V\) e venderla al prezzo di esercizio \(k_C\), perdendo in tutta l’operazione l’ammontare \(V-k_C\), con il solo guadagno iniziale di \(C_0\). Possiamo dunque sintetizzare il valore della call con la seguente formula: \[\max \left \{0, \ V-k_C \right \},\] dove con l’operatore \(\max \) si intende il valore massimo tra i valori di un insieme, in questo caso costituito da soli \(2\) elementi.
Nel caso binomiale, c’è una probabilità \(p\) di aumento del titolo e \(1-p\) è invece la probabilità di diminuzione. Detto \(i^*\) il tasso risk-free di mercato e rispettivamente \(u\) e \(d\) le percentuali di aumento e diminuzione, il valore della call è: \begin {equation} C=\dfrac {1}{1+i^*}\left (C_u \dfrac {i^*-d}{u-d}+C_d \dfrac {u-i^*}{u-d}\right )= \dfrac {1}{1+i^*}\left (p \cdot C_u + (1-p) C_d \right ). \label {call} \end {equation} Supponiamo di avere il titolo del Littoria Calcio, quotato in borsa dopo il fallimento, che all’istante iniziale ha il valore di \(200\) euro e che una call scritta su questo titolo ha prezzo di esercizio di \(195\) euro. Sapendo che il tasso risk-free di mercato corrisponde all’\(1,1\%\) e che al tempo finale l’azione potrà aumentare dell’\(1,9\%\) oppure diminuire del \(2,9\%\), calcoliamo il valore della call relativa.
Ricordando le formule viste in precedenza, i valori dati sono \(u=0,019\), \(i^*=0,011\), \(d=-0,029\), \(V_0=200\), \(k_C=195\). Calcoliamo preliminarmente i valori all’istante finale del titolo (\(V_u\) nel caso di aumento e \(V_d\) nel caso di perdita): \[V_u=200 (1+0,019)=203,8 \text { euro}, \qquad \qquad V_d=200 (1-0,029)=194,2 \text { euro},\] e di conseguenza \(C_u=203,8-195=8,8\), mentre \(C_d=0\) in quanto \(V_d<k_C\). Le rispettive probabilità di aumento e di diminuzione del titolo sono date da: \[p=\dfrac {i^*-d}{u-d}=\dfrac {0,04}{0,048}=83,\overline {3}\%, \qquad \qquad 1-p=\dfrac {u-i^*}{u-d}=\dfrac {0,008}{0,048}=16,\overline {6}\%.\] Per concludere, il valore della call sarà quindi dato da: \[C=\dfrac {1}{1,011}\left (8,8 \cdot 0,8333+0 \cdot 0,1666 \right )=7,253 \text { euro}.\]
Per estendere e in qualche modo generalizzare l’Esempio precedente, poniamoci in una situazione più generale. Supponiamo che un qualsiasi individuo \(\mathcal {I}\) (ma potremmo dire anche agente o decisore o in altri modi, natuarlmente a seconda dello scenario economico o finanziario in cui ci stiamo muovendo) al tempo iniziale, diciamo \(t_0\), debba scegliere se effettuare una determinata transazione. Questa transazione avrà effetto sulla sua posizione finanziaria futura al tempo finale, che chiamiamo \(t_1\), con \(t_1 > t_0\), naturalmente. Nel caso in cui effettuerà questa azione, la sua posizione finanziaria al tempo \(t_1\) diventerebbe \(X\), mentre se non la effettuerà, la sua posizione ammonterà a \(Y\). Entrambe queste somme, \(X\) e \(Y\), sono di natura incerta, quindi descrivibili tramite variabili aleatorie. In questo caso, l’eventuale guadagno per l’individuo, tipicamente denominato payoff, si può indicare con la variabile \(G=Y-X\), anch’essa aleatoria in quanto differenza di variabili aleatorie (qui non stiamo tenendo in considerazione alcuna attualizzazione). Il prossimo Esempio, riadattato da un esempio di Castellani et al. nella Sezione \(1.1\) formalizza meglio lo scenario di un problema di scelta in un mercato di ZCB (zero coupon bond, cioè titolo che non paga cedole intermedie, come il BoT o il CTz).
Esempio 31. In un mercato obbligazionario sono quotati dei ZCB di valore di rimborso \(100\) euro, assunti come privi di rischio4, e aventi prezzo \(v\) al tempo iniziale \(0\). In questo mercato, in cui si possono effettuare azioni solo alle date \(0\) e \(1\), circola anche un titolo rischioso che ha quotazione \(q\).
Quindi, alla data \(1\), chi possiede uno ZCB otterrà il rimborso di \(1\) euro (questo valore nominale è normalizzato, come spesso si fa), mentre chi sarà in possesso dell’asset rischioso ne avrà in mano il valore aleatorio, che possiamo chiamare \(A\), laddove \(A\) è una variabile aleatoria.
Supponiamo che l’individuo \(\mathcal {I}\) possieda un patrimonio \(p>0\), e che voglia investirlo in ZCB privi di rischio. In questo caso, la posizione certa di \(\mathcal {I} \) al tempo iniziale è \(X=\dfrac {p}{v}\), che al tempo finale frutterebbe tale quantità moltiplicata per \(1\), ossia un rimborso di \(1\) euro per ogni titolo certo.
Se invece volesse diversificare l’investimento, potrebbe vendere una parte del proprio patrimonio, diciamo \(\dfrac {p^*}{v}\), con \(p^* < p\). Contestualmente, potrebbe investire il ricavo \(p^*\) in asset rischiosi, mettendone in portafoglio la quantità \(\dfrac {p^*}{q}\). Avendo composto così il suo portafoglio, la sua posizione finanziaria al tempo finale sarebbe: \[Y=\dfrac {p-p^*}{v}+\dfrac {A p^*}{q},\] e di conseguenza il suo payoff sarà dato dalla variabile \(G\) (che sta per guadagno): \[G=Y-X=p^* \left (\dfrac {A}{q}-\dfrac {1}{v}\right ).\] Dunque risulta semplice determinare il livello benchmark del valore dell’asset sotto il quale la strategia è in perdita: \[G < 0 \qquad \Longleftrightarrow \qquad A < \dfrac {q}{v}.\] Se invece \(A > q/v\), il payoff all’anno \(1\) è positivo.
Consideriamo questo stesso esempio sostituendo dei numeri dati: se \(p=5000\) euro, \(p^*=3000\) euro, \(v=0,98\) e \(q=0,86\), allora \[G=3000 \cdot \left (\dfrac {A}{0,86}-\dfrac {1}{0,98}\right )=3.488,372 A-3.061,224,\] e di conseguenza \(G>0\) se \(A>0,877\).
Il prossimo esempio è numerico, e serve a chiarificare meglio il problema di scelta dell’individuo, anch’esso è liberamente ispirato all’Esempio \(1.1.1\) del [CDFM].
Esempio 32. Supponiamo che l’individuo \(\mathcal {I}\) al tempo \(t=0\) possieda un patrimonio \(p=10000\) euro, e che intenda investire tutto in ZCB privi di rischio, che assicurano dopo \(1\) anno un tasso annuo di rendimento del \(2,3\%\) (quindi con prezzo unitario \((1,023)^{-1}=0,977\)). La posizione \(X\) dopo \(1\) anno dell’individuo è quindi del tutto deterministica, e in assenza di ulteriori scelte, il suo ricavo finale sarà: \[X = 10000 \cdot 1,023 = 10230 \text { euro}.\] Supponiamo che inoltre, sul mercato, siano quotati sul mercato dei ZCB rischiosi, e quindi, con rendimento maggiore. Poniamo il prezzo di ciascun ZCB \(q=0,945\) (che corrisponderebbe a un rendimento di \(i=1/q-1=5,82\%\) annuo), ma essendo essi rischiosi, possono valere al tempo \(1\) o \(0,9\) oppure \(1,3\). Nel primo caso, ci sarebbe una perdita, nel secondo invece un guadagno. Chiamiamo come sopra \(A\) la variabile aleatoria che indica il valore di ogni ZCB al tempo finale.
Il problema di scelta per \(I\) consiste nel decidere se destinare la metà del suo patrimonio all’acquisto degli ZCB rischiosi al tempo \(t=0\). In tal caso, la sua posizione finale sarebbe \[Y=5000 \cdot 1,023 + \dfrac {5000 \cdot A}{0,945}=5115+5291,005 A.\] Chiamando quindi \(G\) la differenza tra i due, si ha: \begin {equation*} G=Y-X=5291,005 A-5115= \ \begin {cases} 1763,3065 \ \text {se il valore di ogni ZCB è } 1,3 \\ \\ -353,0955 \ \text {se il valore di ogni ZCB è } 0,9 \end {cases}. \end {equation*} Essendo \(A\) una variabile aleatoria con \(2\) possibili esiti, è naturale caratterizzarla con una distribuzione di probabilità. Ad esempio, supponiamo che all’esito migliore, cioè \(A=1,3\) si attribuisca (da parte di \(I\) o di chi per lui) probabilità \(0,55\) e all’esito opposto la sua complementare, vale a dire: \begin {equation*} A \ = \ \begin {cases} 1,3 \qquad \text {con probabilità} \ \ 0,55 \\ \\ 0,9 \qquad \text {con probabilità} \ \ 0,45 \end {cases}. \end {equation*} A questo punto, possiamo definire il payoff atteso, ossia la media della variabile aleatoria \(G\), col simbolo standard di valore atteso: \[\mathbb {E}[G]=1763,3065 \cdot 0,55 – 353,0955 \cdot 0,45=810,9256.\]
Chiaramente, nell’Esempio 32 il valore del guadagno atteso dipende dalla distribuzione di probabilità scelta, o, comunque, considerata. Come già sappiamo bene, ci sono eventi i cui esiti hanno una distribuzione di probabilità fissa e oggettiva (lancio di dadi, giro di roulette, ecc.) ed altri in cui la probabilità è soggettiva (partita di calcio, valore delle azioni in Borsa, ecc.). In questo caso, anche se supportata da una serie di informazioni e considerazioni, come l’andamento storico, o la situazione politico-economica del momento, la probabilità da attribuire agli esiti di \(A\) è arbitraria.
Un altro possibile esempio di scelta da affrontare riguarda la stipula o meno di un contratto di assicurazione. In un certo senso, anche le opzioni binarie descritte nell’Esempio 30 e altri prodotti derivati più complessi svolgono il ruolo di contratti assicurativi in ambito finanziario. Vediamo il successiovo Esempio, assolutamente minimale.
Esempio 33. Supponiamo di avere un determinato patrimonio \(p\) e che entro un anno potrà verificarsi un evento (disastro naturale, furto, sequestro, ecc.) che comporterà una certa perdita \(L\). L’individuo \(I\) può assicurarsi stipulando un contratto che lo copra dalla perdita, ma al prezzo di stipula \(S\). Quindi in questo caso, se il contratto non viene stipulato, la posizione rischiosa, senza alcuna scelta, è \(X=p-L\). Se invece il contratto è stipulato e il prezzo \(S\) pagato, la posizione è \(Y=p-S-L+L=p-S\). Quindi il payoff \(G\) ammonta a: \[G=Y-X=L-S.\]
Qui non abbiamo preso in esame elementi che avrebbero complicato il problema, come la probabilità che si verifichi l’evento che comporta la perdita \(L\). Scritta in questi termini, è semplice capire che il guadagno \(G\) risulta positivo solo se il costo del contratto di assicurazione è minore dell’entità della perdita. Se esistesse soltanto questo contratto di assicurazione, sarebbe impossibile, perchè la Compagnia di Assicurazione andrebbe sicuramente fallita (ed è per questo che normalmente si ricorre a una serie di caricamenti, ma questo è un altro argomento).
4Pensiamo a dei bond ’tripla A’, o comunque a rischio praticamente nullo.
