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La Teoria del Portafoglio
Prima di addentrarci in uno dei problemi fondamentali di questo corso, ossia la selezione di un portafoglio ottimale, secondo le caratteristiche che rispondono alle ipotesi di razionalità economica, diamo qualche elementare definizione finanziaria1.
Prima di tutto, come definiamo l’azione? Un’azione è un titolo di capitale, detenuto da un portatore privato, pubblico, o in forma societaria, che garantisce dei diritti a chi la possiede, tra cui la facoltà di ricevere i dividendi, cioè una parte degli utili, che periodicamente vengono divisi tra gli azionisti, il diritto di voto in sede di assemblea societaria, con tutti gli altri azionisti. Generalmente, le azioni di molte aziende e società sono scambiate in Borsa, e il loro valore cambia di giorno in giorno a seconda dei movimenti tra gli operatori, del sentiment del mercato, di tutti gli avvenimenti politico-economici abbastanza importanti da influire sulle Borse.
Quanto vale un’azione? Al di là del prezzo quotidiano di un’azione nella Borsa, è possibile anche quantificarne il valore in senso più generale, meno soggetto agli umori del mercato finanziario. Ad esempio, il modello di Gordon (anni \(’50\)) descrive il valore di un’azione come il valore attuale di una rendita perpetua le cui rate sono i dividendi futuri pagati agli azionisti (vedi [S], Capitolo \(3\)). Naturalmente, i dividendi dipendono dagli utili futuri della società in questione, e quindi la valutazione di un’azione resta fortemente aleatoria. A tutto questo, si aggiunge che non tutti gli investitori, o detentori di azioni, hanno lo stesso comportamento sul piano delle strategie finanziarie: i cosiddetti cassettisti tendono a tenere in portafoglio i titoli molto a lungo, spesso fino a scadenza, mentre altri investitori tendono a muovere il mercato molto di più, comprando e vendendo continuamente. Chiaramente l’entità del flusso dei dividendi interessa molto di più al primo tipo di investitori che al secondo.
Passando alla nostra modellizzazione, tipicamente vanno enunciate alcune ipotesi (semplificative) sul mercato che trattiamo, soprattutto per non rendere la trattazione matematica troppo complessa e ingestibile. Come in ogni modello economico o finanziario, sono ipotesi molto vicine alla realtà che la ’approssimano’ adeguatamente. Assumiamo che:
- ogni agente sul mercato possa acquistare o vendere una qualunque quantità di titoli, anche un numero non intero, e che però sia anche price taker, cioè non possa, con la propria attività, influire sul prezzo dei titoli;
- che nel mercato non ci siano costi di transazione, commissioni sugli scambi, costi di intermediazione, eccetera;
- che esistano titoli con rendimento certo, come se fossero obbligazioni emesse o garantite da Enti che non possano fallire.
1Per una trattazione dal tagio divulgativo molto efficace, si può vedere il Capitolo \(9\) di [S].
Rendimento di un’Azione e Rendimento di Portafoglio
Il rendimento di un’azione è descritto da una v.a. \(R\), il cui relativo valore atteso è la media \(\mathbb {E}[R]\), e che prende la denominazione di rendimento medio. Invece il suo rischio è descritto dalla sua deviazione standard \(\sigma (R)\) o \(\sigma _R\), e che tipicamente è chiamata volatilità del titolo. In qualche maniera, anche da un qualsiasi grafico che descriva la serie storica di un’azione si può dedurre il livello di volatilità del titolo: un andamento più ’piatto’ nel tempo indica una volatilità bassa, delle ampie oscillazioni invece suggeriscono un’alta volatilità.
Una prima formula di rendimento può essere introdotta in questo modo: considerando un intervallo temporale \([0,T]\), e un’azione che ha valore \(S(0)\) nel primo istante del periodo considerato e \(S(T)\) nell’ultimo istante, investendo la somma \(x>0\) in questo tipo di azioni, compreremo \(\dfrac {x}{S(0)}\) azioni. Moltiplicando il numero di azioni per il valore finale \(S(T)\), il valore del portafoglio sarà: \[x \dfrac {S(T)}{S(0)} = x (1 + R),\] per cui in pratica \(x R\) sarà l’interesse ottenuto dal capitale iniziale, non necessariamente positivo, perchè se il valore dell’azione fosse sceso da \(0\) a \(T\), il rapporto \(\dfrac {S(T)}{S(0)}\) risulterebbe inferiore a \(1\), e quindi \(R < 0\).
Supponiamo ora di avere a disposizione \(2\) diversi titoli su cui investire, quindi facendo una piccola ’diversificazione’ nel nostro portafoglio. In questo caso, possiamo stabilire un peso \(p\) da attribuire a uno dei due titoli, con \(p \in [0,1]\). Chiamando \(R_1\) la v.a. che indica il rendimento dell’azione \(1\) ed \(R_2\) la v.a. rendimento dell’azione \(2\), possiamo indicare con \(X\) la v.a. che denota il rendimento del portafoglio: \begin {equation} X = x p (1 + R_1) + x (1 – p) (1 + R_2). \label {rendimentoportafoglio2titoli} \end {equation} Di fatto, possiamo esprimere il rendimento totale del portafoglio come una funzione lineare del peso \(p\): \[R(p) = p R_1 + (1 – p) R_2.\] E il rendimento atteso del portafoglio è invece, per la proprietà di linearità del valore atteso: \begin {equation} \mathbb {E}[R(p)] = p \mathbb {E}[R_1] + (1 – p) \mathbb {E}[R_2]. \label {rendimentoattesoportafoglio2titoli} \end {equation} Chiamando poi \(\sigma (R_1)\) e \(\sigma (R_2)\) le volatilità dei singoli titoli, possiamo calcolare la varianza del portafoglio: \[\sigma ^2(R) = \sigma ^2(p) = \sigma ^2(p R_1 + (1 – p) R_2) = \] \[= \sigma ^2(p R_1) + \sigma ^2 ((1 – p) R_2) + 2 \text {Cov}(p R_1, (1 – p) R_2) =\] \[= p^2 \sigma ^2 (R_1) + (1 – p)^2 \sigma ^2 (R_2) + 2 p (1 – p) \text {Cov}(R_1,R_2),\] per le proprietà di varianza e covarianza, entrambe omogenee di grado \(2\). Chiamando poi \(\rho _{12}\) il coefficiente di correlazione, dato dalla relazione \[\rho _{12} = \dfrac {\text {Cov}(R_1,R_2)}{\sigma (R_1)\sigma (R_2)},\] otteniamo l’espressione della varianza del portafoglio: \begin {equation} \sigma ^2(R) = \sigma ^2(p) = p^2 \sigma ^2 (R_1) + (1 – p)^2 \sigma ^2(R_2) + 2 p (1 – p)\rho _{12} \sigma (R_1) \sigma (R_2). \label {varianzaPortafoglio} \end {equation} Ovviamente, per ottenerne la deviazione standard, è sufficiente prendere la radice quadrata, naturalmente positiva, dell’espressione (5.1.3).
Inoltre, svolgendo i calcoli nell’espressione (5.1.3), possiamo notare come la varianza sia una funzione quadratica del peso \(p\), infatti: \[\sigma ^2(p) = (\sigma ^2 (R_1) + \sigma ^2 (R_2) – 2 \rho _{12} \sigma (R_1) \sigma (R_2)) p^2 +\] \[+ 2 (\rho _{12} \sigma (R_1) \sigma (R_2) – \sigma ^2(R_2)) p + \sigma ^2(R_2).\] Ricapitolando, il rendimento medio è lineare in \(p\) e la varianza è quadratica sempre in \(p\). Ma allora, la varianza ha un minimo assoluto, e unico, facilmente calcolabile imponendo la derivata prima uguale a \(0\). Il fatto che sia un minimo deriva dalla positività del coefficiente di \(p^2\), che quindi individua una parabola convessa, cioè a U. Il valore di \(p\) per cui \((\sigma ^2)^\prime (p) = 0\) è quello per cui otteniamo il portafoglio a varianza minima (o PVM). Possiamo calcolarlo esplicitamente: \[(\sigma ^2)^\prime (p) = 2 (\sigma ^2 (R_1) + \sigma ^2 (R_2) – 2 \rho _{12} \sigma (R_1) \sigma (R_2)) p + 2 (\rho _{12} \sigma (R_1) \sigma (R_2) – \sigma ^2(R_2)) = 0\] \[\Downarrow \] \begin {equation} p^* = \dfrac {\sigma ^2(R_2) – \rho _{12} \sigma (R_1) \sigma (R_2)}{\sigma ^2 (R_1) + \sigma ^2 (R_2) – 2 \rho _{12} \sigma (R_1) \sigma (R_2)}, \label {p*pvm} \end {equation} che è il valore critico \(p^*\), che è però positivo se e solo se \(\sigma (R_2) > \rho _{12} \sigma (R_1)\), ossia se \(\rho _{12} < \dfrac {\sigma (R_2)}{\sigma (R_1)}\). Soltanto quando il valore \(p^*\) sta tra \(0\) e \(1\) esiste il PVM diversificato.
Naturalmente, per varianza minima intendiamo anche rischio minimo o volatilità minima, quindi in qualche modo il valore \(p^*\) corrisponde alla scelta meno rischiosa, o con maggiore avversione al rischio, tra le tante possibili.
Risulta interessante notare che nel caso di perfetta correlazione negativa, ossia \(\rho _{12}=-1\), l’espressione (5.1.4) si riduce a una forma molto più semplice, ossia \[p^* = \dfrac {\sigma ^2(R_2) + \sigma (R_1) \sigma (R_2)}{\sigma ^2 (R_1) + \sigma ^2 (R_2) + 2 \sigma (R_1) \sigma (R_2)} =\] \[= \dfrac {\sigma (R_2) (\sigma (R_1) + \sigma (R_2))}{(\sigma (R_1) + \sigma (R_2))^2} = \dfrac {\sigma (R_2)}{\sigma (R_1) + \sigma (R_2)},\] che è sempre strettamente compreso tra \(0\) e \(1\).
Se invece i \(2\) titoli sono completamente scorrelati, ossia \(\rho _{12} = 0\), sostituendo in (5.1.4) troviamo: \[p^* = \dfrac {\sigma ^2(R_2)}{\sigma ^2 (R_1) + \sigma ^2 (R_2)},\] anch’esso sempre in \((0,1)\), quindi in questi \(2\) casi la diversificazione del portafoglio è assicurata.
Esempio 62. Calcoliamo le funzioni di rendimento medio e di varianza di un portafoglio a \(2\) titoli, con queste caratteristiche:
- azione \(1\): \(R_1 = 3\%\), \(\sigma (R_1) = 4\%\),
- azione \(2\): \(R_2 = 2\%\), \(\sigma (R_2) = 2,5\%\),
con coefficiente di correlazione \(\rho _{12} =0,29\). Successivamente, calcoliamo il valore \(p^*\) per determinare il PVM e determiniamo il rendimento del portafoglio in quel caso.
Inizialmente, scriviamo il rendimento medio del portafoglio, in funzione della quota \(p\) da investire nell’azione \(1\): \[\mathbb {E}[R(p)] = 0,03p + 0,02 (1 – p) = 0,02 + 0,01 p,\] retta con coefficiente angolare positivo in quanto l’azione \(1\) ha rendimento medio maggiore dell’azione \(2\). Invece, la varianza risulta: \[\sigma ^2(p) = (0,04^2 + 0,025^2 – 2 \cdot 0,29 \cdot 0,04 \cdot 0,025) p^2 +\] \[+ 2 (0,29 \cdot 0,04 \cdot 0,025 – 0,025^2) p + 0,025^2 =\] \[= 0,0016 p^2 -0,0006 p + 0,0006.\] Troviamo \(p^*\) corrispondente alla minima volatilità: \[2 \cdot 0,0016 p^* – 0,0006 = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad p^* = 0,1875,\] che è accettabile in quanto compreso tra \(0\) \(1\).
Possiamo quindi concludere che scegliendo il \(18,75\%\) delle azioni da comprare come azioni \(1\) e il rimanente \(81,25\%\) come azioni \(2\), avremo la minima varianza possibile, e quindi la minima volatilità, nel nostro portafoglio. Se volessimo ’normalizzare’ questi numeri per avere dei numeri interi, possiamo dire che, dovendo comprare in totale \(10000\) azioni da mettere in portafoglio, \(1875\) dovrebbero essere azioni \(1\) e \(8125\) dovrebbero essere azioni \(2\).
Qual è il rendimento del portafoglio in corrispondenza del valore \(p^*\)? Basta sostituire e avremo: \[\mathbb {E}[R(p^*)] = 0,02 + 0,01 p^* = 0,02 + 0,01 \cdot 0,1875 = 0,0218.\]
Bisogna però tenere a mente che il valore \(p^*\) che dà luogo al PVM deve essere compreso tra \(0\) e \(1\), per la sua natura stessa di peso nella composizione del portafoglio. Se questo non avviene, siamo in presenza di un caso particolare, quindi vediamo come comportarci Le Figure successive servono a descrivere graficamente questi contesti.
Il caso a destra è quello dell’Esempio precedente, in cui \(p^*\) definisce una quota accettabile come preso tra \(0\) e \(1\), ed è quindi un esempio semplice di diversificazione di portafoglio. Invece, il grafico della parabola a sinistra ha un minimo \(p^*\) negativo, e quindi non accettabile. In questo caso, dobbiamo guardare soltanto il ramo di parabola che sta nel primo quadrante del piano cartesiano, ed è un ramo ovviamente crescente. Quindi, partendo dalla quota in cui la parabola interseca l’asse verticale, il livello più basso per la varianza sarà \(p = 0\), e di conseguenza il portafoglio sarà costituito soltanto dall’azione \(2\), perchè la quota di portafoglio dedicata all’azione è uguale a \(0\), e quindi niente diversificazione in quest’altro caso.
Supponiamo ora, invece, di stabilire un certo \(p\) fissato fin dall’inizio. Per ogni \(p \in [0,1]\) (consideriamo anche i \(2\) casi limite senza diversificazione, anche se meno interessanti), otteniamo un diverso portafoglio, cioè un portafoglio con diverse quantità, anche eventualmente numeri non interi, di azioni del primo e del secondo tipo. Per descrivere graficamente la situazione di ogni singolo possibile portafoglio, consideriamo un nuovo piano cartesiano (per la verità ne consideriamo soltanto il primo quadrante, a coordinate positive), in cui a ogni punto corrisponde un certo portafoglio, e le cui coordinate sono la sua volatilità e la sua media, e che quindi chiamiamo Piano Volatilità-Media o anche, in modo forse più descrittivo, Piano Rischio-Rendimento.
Analisi sul Piano Rischio-Rendimento e Curva delle Opportunità
L’idea di connotare ogni portafoglio tramite la sua volatilità (cioè la sua deviazione standard, radice quadrata della relativa varianza) e il suo valore medio, come coordinate dei punti di un piano, risale all’economista Harry Markowitz nel \(1952\), e la stessa Teoria del Portafoglio è spesso indicata come Teoria di Markowitz. Markowitz ricevette nel \(1990\) anche il Premio Nobel, che tipicamente, tranne negli ultimissimi anni, viene assegnato ai più importanti studiosi in età molto avanzata, quando le scoperte fatte hanno dimostrato la loro importanza nel corso dei decenni.
Per semplificare la notazione, chiamiamo \(\mathbb {E}[R(p)] = M\), \(\mathbb {E}[R_1] = M_1\) , \(\mathbb {E}[R_2] = M_2\), \(\sigma (R) = \sigma \), \(\sigma (R_1) = \sigma _1\) e \(\sigma (R_2) = \sigma _2\). Dall’equazione (5.1.2) otteniamo: \[p = \dfrac {M – M_2}{M_1 – M_2},\] e sostituendo nell’espressione della varianza (5.1.3) avremo: \[\sigma ^2 = (\sigma _1^2 + \sigma _2^2 – 2 \rho _{12} \sigma _1 \sigma _2) \left (\dfrac {M – M_2}{M_1 – M_2} \right )^2 + 2 (\rho _{12} \sigma _1 \sigma _2 – \sigma _2^2) \left (\dfrac {M – M_2}{M_1 – M_2} \right ) + \sigma _2^2,\] i cui termini possono successivamente essere riarrangiati e raccolti con alcuni passaggi algebrici, per arrivare ad un’equazione di una conica del tipo: \[\sigma ^2 = \alpha M^2 + \beta M + \gamma ,\] con \(\alpha \), \(\beta \) e \(\gamma \) parametri reali che contengono \(\sigma _1\), \(\sigma _2\), \(\rho _{12}\), \(M_1\) ed \(M_2\).
L’equazione suddetta è quella di un’iperbole, non equilatera, bensì con asintoti obliqui, o transversi, che non è esprimibile con un’unica funzione, ma con \(2\) diverse determinazioni: \[\sigma (M) = \pm \sqrt {\alpha M^2 + \beta M + \gamma }.\] Ma non tutta l’iperbole va considerata, bensì soltanto quel rametto di curva che sta tra i \(2\) punti del piano corrispondenti ai titoli considerati, e cioè alle azioni \(1\), punto \((\sigma _1,M_1)\), e \(2\), punto \((\sigma _2, M_2)\). Questo sottoinsieme dell’iperbole prende il nome di insieme possibile o insieme delle opportunità o frontiera delle opportunità.
Vediamo un esempio di frontiera delle opportunità sul piano Rischio-Rendimento nella Figura \(5\).
Esercizio 63. Trovare l’equazione dell’iperbole che descrive l’insieme delle possibilità dati i \(2\) titoli di coordinate \((5,2)\) e \((65,47)\) sul piano Rischio-Rendimento, con coefficiente di correlazione \(\rho _{12} = 0,43\).
Si tratta di sostituire i valori \(\sigma _1 = 5\), \(\sigma _2 = 65\), \(M_1 = 2\), \(M_2 = 47\) e il coefficiente \(\rho _{12}\) dato nell’equazione (5.1.3 ): \[\sigma ^2 = (5^2 + 65^2 – 2 \cdot 0,43 \cdot 5 \cdot 65) \left (\dfrac {M – 47}{2 – 47}\right )^2 + 2 (0,43 \cdot 5 \cdot 65 – 65^2) \left (\dfrac {M – 47}{2 – 47}\right ) + 65^2 =\] \[= 3970,5 \cdot \left (\dfrac {(M – 47)^2}{2025}\right ) – 8170,5 \left (\dfrac {M – 47}{- 45}\right ) + 4225 =\] \[ = 1,9607 (M^2 + 2209 – 94 M) + 181,5666 (M – 47) + 4225 =\] \[= 1,9607 M^2 – 2,7392 M + 22,5561.\]
Torniamo al caso in cui \(\rho _{12} = -1\), già accennato, e ricaviamo il rendimento nel PVM. Sostituendo \(p^* = \dfrac {\sigma _2}{\sigma _1 + \sigma _2}\) in (5.1.3) otteniamo: \[\sigma ^2 \left (\dfrac {\sigma _2}{\sigma _1 + \sigma _2} \right ) = \left (\dfrac {\sigma _2}{\sigma _1 + \sigma _2} \right )^2 \sigma _1^2 + \left (1 – \dfrac {\sigma _2}{\sigma _1 + \sigma _2} \right )^2 \sigma _2^2\] \[- 2 \left (\dfrac {\sigma _2}{\sigma _1 + \sigma _2} \right )\left (1 – \dfrac {\sigma _2}{\sigma _1 + \sigma _2} \right ) \sigma _1 \sigma _2 = 2 \dfrac {\sigma _1^2 \sigma _2^2}{(\sigma _1 + \sigma _2)^2} – 2 \dfrac {\sigma _1^2 \sigma _2^2}{(\sigma _1 + \sigma _2)^2} = 0,\] e quindi essendo la varianza del portafoglio nulla, il suo rendimento è certo, per cui corrisponderà a un punto sul semiasse positivo delle ascisse. Risulta facile calcolarlo, per esempio dalla relazione: \[p^* = \dfrac {M^* – M_2}{M_1 – M_2} \qquad \Longrightarrow \qquad \dfrac {M^* – M_2}{M_1 – M_2} = \dfrac {\sigma _2}{\sigma _1 + \sigma _2} \qquad \Longrightarrow \] \[\Longrightarrow \qquad M^* = \dfrac {\sigma _2 (M_1 – M_2)}{\sigma _1 + \sigma _2} + M_2 = \dfrac {\sigma _2 M_1 – \sigma _2 M_2 + \sigma _1 M_2 + \sigma _2 M_2}{\sigma _1 + \sigma _2} \qquad \Longrightarrow \] \[\Longrightarrow \qquad M^* = \dfrac {\sigma _1 M_2 + \sigma _2 M_1}{\sigma _1 + \sigma _2}.\] Questo valore di \(M^*\) è una media pesata delle varianze dei due titoli con i rendimenti, e può essere indicato sull’asse verticale del piano Rischio-Rendimento. Tracciando poi le \(2\) semirette uscenti dal punto \((0,M^*)\) e passanti rispettivamente per gli estremi della frontiera delle opportunità \((\sigma _1,M_1)\) e \((\sigma _2,M_2)\) otteniamo la Figura seguente:
Dopo aver esaminato il caso di perfetta correlazione negativa, consideriamo quello di perfetta correlazione positiva, vale a dire \(\rho _{12} = 1\). In questo caso, la varianza di portafoglio risulta, sempre sostituendo nella (5.1.3): \[\sigma ^2(p) = p^2 \sigma _1^2 + (1 – p)^2 \sigma _2^2 + 2 p (1 – p) \sigma _1 \sigma _2 = (p \sigma _1+ (1-p) \sigma _2)^2,\] da cui \(\sigma = p \sigma _1 + (1-p) \sigma _2\), in quanto la varianza è sempre positiva. Considerando insieme le \(2\) equazioni lineari e ricavando ed eliminando \(p\), si ha: \begin {equation*} \begin {cases} \sigma = p \sigma _1 + (1-p) \sigma _2 \\ \\ p = \dfrac {M – M_2}{M_1 – M_2} \end {cases} \qquad \Longrightarrow \qquad \begin {cases} \sigma = \dfrac {M – M_2}{M_1 – M_2} \sigma _1 + \left (1-\dfrac {M – M_2}{M_1 – M_2} \right ) \sigma _2 \\ \\ p = \dfrac {M – M_2}{M_1 – M_2} \end {cases}, \end {equation*} da cui la prima equazione risulta lineare: \[(M_1 – M_2) \sigma = (M – M_2)\sigma _1 + (M_1 – M) \sigma _2 \ \ \Longrightarrow \ \ \ldots \ \ \Longrightarrow \] \[\Longrightarrow \ \ M = \dfrac {M_1 – M_2}{\sigma _1 – \sigma _2} \sigma + \dfrac {\sigma _1 M_2 – \sigma _2 M_1}{\sigma _1 – \sigma _2},\] cioè una retta, che però stacca il segmento passante per i \(2\) punti corrispondenti ai \(2\) titoli, che rappresentiamo in Figura.
In pratica, i \(3\) vertici \((0,M^*)\), \((\sigma _1,M_1)\) e \((\sigma _2,M_2)\) formano un triangolo all’interno del quale ci sono tutte le possibili frontiere delle opportunità al variare di \(\rho _{12} \in [0,1])\), dal caso perfettamente scorrelato, in cui la varianza è \(0\), a quello perfettamente correlato, in cui il ramo di iperbole collassa in un segmento nel piano che unisce i punti relativi alle \(2\) azioni nel portafoglio.
Sul piano Rischio-Rendimento è anche semplice implementare un criterio di preferenza coerente con quelli introdotti nella Teoria delle Preferenze. In questo caso, le \(2\) dimensioni sono particolarmente utili, perchè dati \(2\) qualsiasi punti \(A = (\sigma _A,M_A)\) e \(B=(\sigma _B,M_B)\), è facile stabilire che:
- Se \(\sigma _A = \sigma _B\) e \(M_A > M_B\), \(A\) è preferita a \(B\) perchè a parità di volatilità si preferisce una media maggiore. A maggior ragione, se \(\sigma _A < \sigma _B\) e \(M_A > M_B\), \(A\) è preferibile a \(B\);
- se \(M_A = M_B\) e \(\sigma _A < \sigma _B\), \(A\) è preferita a \(B\) perchè a parità di media, si preferisce una volatilità minore. A maggior ragione, se \(M_A > M_B\) e \(\sigma _A < \sigma _B\), come sopra, \(A\) è preferibile a \(B\);
- in tutti gli altri casi non si può stabilire un criterio di preferenza univoco e oggettivo: ad esempio, se \(M_A > M_B\) ma anche \(\sigma _A > \sigma _B\), cioè \(A\) possiede sia media che volatilità maggiori di \(B\), subentra la scelta individuale dell’investitore \(\mathcal {I}\). Se \(\mathcal {I}\), data la sua propensione al rischio, è disposto ad accettare un rischio maggiore in cambio di un rendimento maggiore, preferirà \(A\), altrimenti, se darà una maggiore importanza alla bassa volatilità, e quindi avrà bassa propensione al rischio, preferirà l’azione \(B\).
Ad esempio, immaginiamo, sempre nella solita Figura, di considerare \(2\) punti con la stessa volatilità \(A\) e \(B\). La preferenza cadrà su \(A\), che ha media maggiore, come nella Figura \(8\).
Tornando alla nostra frontiera delle opportunità, qualsiasi punto della curva rappresenta un portafoglio. Un portafoglio si dice efficiente se nessun altro portafoglio della curva lo domina strettamente. Intuitivamente, guardando le ultime Figure, è abbastanza chiaro che i portafogli efficienti corrisponderanno ai punti ’più in alto’. Si definisce frontiera efficiente il sottoinsieme dei punti sulla curva delle opportunità formato dai portafogli efficienti.
Curve di Indifferenza e Criteri di Preferenza nel Piano Rischio-Rendimento
Torniamo a parlare di Teoria dell’Utilità e di relative funzioni, come introdotte precedentemente. Esattamente come accade nei problemi vincolati di minimizzazione della varianza, anche la massimizzazione dell’utilità, o dell’utilità attesa, o del payoff, di un qualsiasi agente economico può essere a sua volta un problema vincolato. Se usiamo ancora la notazione precedente, cioè indichiamo con \(u(X)\) l’utilità, o il beneficio, che deriva dalla posizione finanziaria \(X\), intendendo \(u(X)\) come numero reale e non come v.a., possiamo collocare questo problema all’interno di un analisi di tipo Rischio-Rendimento.
Data quindi una funzione di utilità che verifica le proprietà standard, considerando tutte le posizioni finanziarie di \(\mathcal {X}\) aventi lo stesso valore atteso, chiamiamo opportunità di frontiera la posizione \(\widetilde {X}\) che ha il minimo livello di volatilità, ossia di rischiosità, secondo la definizione che ne è stata data nel Capitolo \(4\). In pratica, fissando un livello \(\widetilde {M}\) di valore atteso, un’opportunità di frontiera sarà soluzione del seguente problema vincolato: \begin {equation} \begin {cases} \min _{X \in \mathcal {X}} \Phi (X) = u(\mathbb {E}[X]) – \mathbb {E}[u(X)] \\ \\ \text {col vincolo } \mathbb {E}[X]=\widetilde {M} \end {cases}. \label {problemadiottimizzazione} \end {equation} In pratica, nel piano Rischio-Rendimento si fissa un certo livello \(\widetilde {M}\). L’opportunità di frontiera sarà rappresentata dal punto \(P\) di \(\mathcal {X}\) più ’a sinistra’ rispetto a tutti gli altri punti sulla retta \(M=\widetilde {M}\), quindi quello col rischio minore. Il piano che consideriamo è una piccola variante del piano Rischio-Rendimento, in cui l’ordinata è la stessa, ma sulle ascisse c’è invece, anziché la volatilità, la suddetta rischiosità, e quindi il piano \((\sigma ,M)\).
Quindi ad ogni punto \(P\) del piano \((\sigma ,M)\) corrisponde una posizione finanziaria le cui coordinate sono il suo livello di rischiosità e il suo rendimento atteso, e l’insieme delle opportunità \(\mathcal {X}\) diventa di fatto un sottoinsieme del piano \((\sigma ,m)\). L’utilità attesa di ogni punto \(P\) diventa una funzione a due variabili \(U(P)=U(\sigma ,M)=u(M)-\sigma \), le cui curve di livello (le curve di indifferenza3) sono curve nel piano. Il concetto di indifferenza è intuitivo: è indifferente scegliere un punto piuttosto che un altro sulla stessa curva di livello, perchè entrambi forniscono lo stesso livello di utilità (e invece cambiano sia la rischiosità che il rendimento atteso).
Date \(2\) posizioni finanziarie \(X_1,X_2 \in \mathcal {X}\), rappresentate rispettivamente dai punti del piano \(P_1\) e \(P_2\), possiamo descriverne la preferenza relativa facendo delle considerazioni sulla funzione \(U(\cdot )\). Tali considerazioni ’qualitative’ necessitano delle derivate parziali, che comunque in questo caso sono molto semplici, perchè la funzione \(U(\cdot )\) è additivamente separabile. Va notato che \[\dfrac {\partial U}{\partial M}=u^\prime (M)>0,\] per la definizione di funzione utilità, anche a \(1\) variabile. Di conseguenza tra due punti aventi la stessa ascissa \(\sigma \) verrà preferito il punto con ordinata maggiore, quindi ’più in alto’ sul piano. In altre parole, a parità di rischiosità, che nella derivata parziale rispetto all’altra variabile è tenuta ferma, si preferirà la posizione con rendimento atteso maggiore.
Analogamente, notando che \[\dfrac {\partial U}{\partial \sigma }=-1<0,\] prendendo due posizioni con uguali livelli di rendimento atteso, verrà preferita quella con minore livello di rischiosità (perché all’aumentare del rischio, l’utilità diminuisce), e quindi su una stessa retta costante, verrà preferito il punto ’più a sinistra’, più vicino all’asse verticale. Una raffigurazione di questo ordinamento di preferenza può essere visivamente utile.
Nella Figura \(9\) sono disegnate \(3\) curve di indifferenza, corrispondenti ai livelli di utilità \(K_1\), \(K_2\), \(K_3\). Mettendo a confronto i punti sulle diverse curve, la posizione finanziaria \(A\) è da preferire a \(B\) perchè a parità di media e quindi di rendimento \(m_A=m_B\), ha un livello più basso di rischiosità. Invece la posizione finanziaria \(C\) è da preferire alla posizione \(D\) perchè, dato uno stesso livello di rischiosità \(\sigma _C=\sigma _D\), ha un rendimento atteso più alto. Invece, i punti \(B\) e \(D\), ad esempio, non sono confrontabili, perchè \(B\) ha sia maggiore rendimento che maggiore rischio di \(D\).
Si può anche visualizzare graficamente l’equivalente certo. Infatti, data una qualsiasi curva di indifferenza \(U(\sigma ,M)=K\), il suo valore quando \(\sigma =0\), quindi a zero rischio, corrisponde alla sua intersezione con l’asse verticale del rendimento medio, per cui: \[u(M)-\sigma =K \qquad \Longleftrightarrow \qquad M(\sigma )=u^{-1}(\sigma +K),\] da cui, per \(\sigma =0\), l’equivalente certo \(M^*\) risulta, per ogni livello \(K\) positivo: \[M^*=u^{-1}(K).\] Si può derivare abbastanza facilmente la convessità delle curve di indifferenza, grazie al Teorema delle Funzioni Implicite, che mette in relazione le derivate parziali di una funzione a \(2\) variabili con l’espressione locale di una variabile in funzione dell’altra4. La formula che ne risulta è particolarmente utile in quanto, anche se non fornisce l’espressione esatta della funzione localmente, ci dà informazioni sul suo comportamento qualitativo. In questo caso, il Teorema delle Funzioni Implicite afferma che data una curva di livello \(U(\sigma ,M)=K\), si può esprimere localmente la derivata di \(M(\sigma )\): \[U(\sigma ,M)=K \qquad \Longleftrightarrow \qquad dU=\dfrac {\partial U}{\partial M}dM+\dfrac {\partial U}{\partial \sigma }d\sigma =0,\] da cui scriviamo il rapporto tra i differenziali, che è uguale alla derivata: \[\dfrac {dM}{d\sigma }=M^\prime (\sigma )=-\dfrac {\dfrac {\partial U}{\partial \sigma }}{\dfrac {\partial U}{\partial M}}=- \dfrac {-1}{u^\prime (M)}=\dfrac {1}{u^\prime (M(\sigma ))},\] positiva per le ipotesi sulla funzione utilità. Andando ad esaminare il segno della derivata seconda, avremo: \[\dfrac {d^2 M}{d \sigma ^2}=\dfrac {d}{d\sigma }\left (\dfrac {1}{u^{\prime }(M(\sigma ))}\right )=\dfrac {-u^{\prime \prime }(M(\sigma ))}{\left (u^\prime (M(\sigma ))\right )^2} \cdot \dfrac {dM}{d\sigma }=\] \[=\dfrac {-u^{\prime \prime }(M(\sigma ))}{\left (u^\prime (M(\sigma ))\right )^2} \cdot \dfrac {1}{u^\prime (M(\sigma ))}=-\dfrac {u^{\prime \prime }(M(\sigma ))}{\left (u^\prime (M(\sigma ))\right )^3},\] che è una quantità positiva perchè, sempre per le ipotesi iniziali sull’utilità, \(u^\prime >0\) e \(u^{\prime \prime }<0\), quindi \(M(\sigma )\) risulta convessa su tutto il dominio \(\sigma \geq 0\).
Esempio 69. Supponiamo che l’individuo \(\mathcal {I}\) abbia l’utilità logaritmica \[u(x)=1+\ln (1+x)\] e ricaviamone \(\Phi (X)\), l’espressione delle curve di indifferenza e l’equivalente certo della una curva di indifferenza al livello \(K=10\).
Prima di tutto, troviamo la funzione \(\Phi (\cdot )\), ricordandone la formula e le proprietà dell’operatore media: \[\Phi (X)=u \left (\mathbb {E}[X]\right )-\mathbb {E}[u(X)]=1+\ln \left (\mathbb {E}[X] \right )-\mathbb {E}[1+\ln (1+X)]=\] \[=1+\ln \left (\mathbb {E}[X] \right )-1 -\mathbb {E}[\ln (1+X)]=\ln \left (\mathbb {E}[X] \right )-\mathbb {E}[\ln (1+X)].\] Poichè la forma della \(U(\cdot )\) è data da: \[U(\sigma ,M)=u(M)-\sigma =1+\ln (1+M)-\sigma ,\] allora la curva di indifferenza al livello \(K=10\) è \[U(\sigma ,M)=10 \qquad \Longleftrightarrow \qquad 1+\ln (1+M)-\sigma =10,\] da cui ricaviamo l’espressione esplicita di \(m(\sigma )\) come segue: \[\ln (1+M)=\sigma +9 \qquad \Longleftrightarrow \qquad M(\sigma )=e^{\sigma +9}-1,\] che essendo un’esponenziale con esponente positivo, è evidentemente una funzione crescente e convessa.
Esercizio 70. Data la funzione di utilità \(u(x)=\sqrt [4]{x+2}\), ricavare:
- l’espressione della misura di avversione al rischio di Arrow-Pratt \(r_u(x)\);
- l’espressione della curva di indifferenza nel piano \((\sigma ,M)\) al livello \(K=3\);
- la forma esplicita della funzione \(M(\sigma )\) nel piano \((\sigma ,M)\) e l’equivalente certo.
La misura di Arrow-Pratt è calcolabile facilmente: \[r_u(x)=-\dfrac {u^{\prime \prime (x)}}{u^\prime (x)}=-\dfrac {\dfrac {1}{4} \cdot \left (-\dfrac {3}{4}\right )(x+2)^{-7/4}}{\dfrac {1}{4}(x+2)^{-3/4}}=\dfrac {3}{4(x+2)}.\] L’utilità attesa è la funzione \(U(\sigma ,M)=\sqrt [4]{M+2}-\sigma ,\) quindi la curva di indifferenza a livello \(3\) è data da: \[\sqrt [4]{M+2}-\sigma -3=0.\] Per trovare \(M(\sigma )\), possiamo scegliere \(2\) diversi modi. O invertiamo semplicemente la formula precedente: \[\sqrt [4]{M+2}-\sigma -3=0 \qquad \Longleftrightarrow \qquad M(\sigma )=(\sigma +3)^4-2,\] oppure applichiamo il Teorema delle Funzioni Implicite, ottenendo: \[\dfrac {dM}{d\sigma }=M^\prime (\sigma )=-\dfrac {\dfrac {\partial U}{\partial \sigma }}{\dfrac {\partial U}{\partial M}} = – \dfrac {-1}{\frac {(M+2)^{-3/4}}{4}}=4 (M+2)^{3/4},\] da cui, integrando membro a membro per separazione di variabili: \[\dfrac {dM}{(M+2)^{3/4}} = 4 d\sigma \qquad \Longrightarrow \qquad \int \dfrac {dM}{(M+2)^{3/4}} = \int 4 d\sigma \qquad \Longrightarrow \] \[\Longrightarrow \qquad \dfrac {(M+2)^{1/4}}{\dfrac {1}{4}} = 4 \sigma + C \Longrightarrow \qquad 4 (M+2)^{1/4} = 4 \sigma + C,\] e semplificando (rinominando \(C/4 = K\)), si ha \[\sqrt [4]{M+2}-\sigma -K=0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \sqrt [4]{M+2}-\sigma -3=0 \ \ \ \Longleftrightarrow \ \ \ M(\sigma )=(\sigma +3)^4-2.\] Infine, per \(\sigma =0\), abbiamo l’equivalente certo: \[M^*=M(0)=3^4-2=79.\]
Vendite allo Scoperto sul Mercato
Questa Sezione è analoga alla trattazione in [S]. Il caso in cui i titoli in portafoglio possono essere venduti allo scoperto (la vendita allo scoperto, anche detta short selling, è una strategia finanziaria legale, che consiste nel vendere un titolo in un istante precedente a quello in cui lo si possiede effettivamente) va trattato a parte. In pratica, ci sono \(2\) diverse situazioni, corrispondenti ai \(2\) titoli in portafoglio, che si verificano se il peso \(p\) si rtrova al di fuori dell’intervallo \([0,1]\). Sostanzialmente:
- se \(p < 0\), viene venduto allo scoperto il titolo \(1\);
- se \(p > 1\), viene venduto allo scoperto il titolo \(2\).
Tipicamente, un’operazione di vendita allo scoperto comporta una vendita di un’azione ancora non posseduta (o prestata da qualche intermediario sotto condizioni di garanzia) da parte di un investitore, che ricava il prezzo iniziale \(S(0)\). Alla scadenza \(T\), l’investitore si procura l’azione dal mercato al prezzo finale \(T\) e la restituisce all’intermediario, pagando il prezzo corrente \(S(T)\).
Ovviamente, la vendita allo scoperto è fruttuosa se \(S(T) < S(0)\), quindi in qualche modo è una scommessa sul ribasso del valore del titolo. Essendo di fatto una passività, consideriamo la vendita allo scoperto come una posizione del tipo \(X = -x(1+R)\). Nella Teoria del Portafoglio di Markowitz, sotto l’assunzione che entrambe le azioni si possano vendere allo scoperto, il parametro \(p\) ’vive’ su tutto l’asse reale e non più solo tra \(0\) e \(1\). Riprendendo quindi il valore già precedentemente calcolato del PVM, ossia \begin {equation*} p^* = \dfrac {\sigma _2^2 – \rho _{12} \sigma _1 \sigma _2}{\sigma _1^2 + \sigma _2^2 – 2 \rho _{12} \sigma _1 \sigma _2}, \end {equation*} e ri-analizzando, possiamo ricavare lo spazio dei parametri per cui viene effettuata la vendita allo scoperto.
Ad esempio, se \(\rho _{12} > \dfrac {\sigma _2}{\sigma _1}\), allora \(p^* < 0\) e vendiamo allo scoperto l’azione \(1\). Se invece \(\rho _{12} > \dfrac {\sigma _1}{\sigma _2}\), allora \(p^*>1\) ed è l’azione \(2\) quella che va venduta allo scoperto.
Per quanto riguarda la curva delle opportunità va notato che, a parte i casi \(\rho _{12} = \pm 1\), in cui come abbiamo visto vengono individuati i segmenti nel primo quadrante, in tutti gli altri casi la curva è tutta l’iperbole e non soltanto il ramo tra i punti corrispondenti alle \(2\) azioni, se lo short selling è fattibile. Nel prossimo Esempio consideriamo uno scenario di possibile vendita allo scoperto.
Esempio 64. Consideriamo i due titoli nel piano Rischio-Rendimento aventi le seguenti coordinate: \[A = (\sigma _A, M_A) =(0.09,0.05), \qquad \qquad B = (\sigma _B, M_B) = (0.15,0.07),\] con coefficiente di correlazione \(\rho _{AB} = 0,91\).
Calcoliamo prima di tutto i dati del PVM per poi dedurre se preveda o meno una vendita allo scoperto. Sostituendo i valori dati nella formula (5.1.4) otteniamo: \[p^* = \dfrac {0,15^2 – 0,91 \cdot 0,09 \cdot 0,15}{0,09^2 + 0,15^2 – 2 \cdot 0,91 \cdot 0,09 \cdot 0,15} = 1,694.\] Essendo quindi \(p^* > 1\), nel portafoglio di minima varianza si prevede la vendita allo scoperto dell’azione \(B\). Vediamo la volatilità \(\sigma \) e il rendimento \(M\) in questo caso: \[\sigma ^2 = \left (0,09^2 + 0,15^2 – 2 \cdot 0,91 \cdot 0,09 \cdot 0,15 \right ) \cdot 1,694^2 +\] \[+ 2 \cdot (0,91 \cdot 0,09 \cdot 0,15 – 0,15^2) \cdot 1,694 + 0,15^2 =0,0051,\] da cui \[\sigma = \sqrt {0,0051} = 0,0714.\] Invece il rendimento medio risulterà: \[M = p^* (M_A – M_B) + M_B = 1,694 (0,05 – 0,07) + 0,07 = 0,0361.\] In questo caso la curva delle opportunità è l’intera iperbole passante per i punti \(A\) e \(B\) e con vertice in \(P = (\sigma , M) = (0.0714, 0.0361)\).
Utilità e Frontiera Efficiente
Vediamo ora come unire l’analisi delle curve di indifferenza con quella dell’insieme delle opportunità, sfruttando le informazioni date dalle forme delle curve. Partendo da un insieme delle opportunità e considerando il sottoinsieme di \(\mathcal {X}\) che chiamiamo \(\mathcal {F}\), sarà detto frontiera delle opportunità, vediamo un esempio di frontiera delle opportunità nella Figura \(10\).
Ogni possibile livello di rendimento atteso è una semiretta orizzontale sul piano, e già sappiamo che tutti i punti collocati più a sinistra costituiscono la curva \(\mathcal {F}\), la frontiera delle opportunità. Inoltre, considerando le semirette verticali e quindi fissando dei livelli di rischiosità, tutti i punti che hanno il massimo rendimento atteso a parità di rischiosità cosituiscono la frontiera efficiente. La parte di frontiera delle opportunità costituita dagli altri punti, cioè quelli al di fuori della frontiera efficiente, è talvolta detta frontiera inefficiente. Inoltre, i punti della frontiera efficiente sono anche detti di ottimo paretiano (dal nome dell’economista italiano Vilfredo Pareto).
Ad esempio, nella Figura \(10\), i punti \(A\) e \(B\) hanno la stessa ascissa \(\phi _A = \phi _B\). Chiaramente, \(B\) risulta preferito ad \(A\) in quanto il suo rendimento atteso \(M_B\) è maggiore di \(M_A\), rendimento atteso di \(A\). Invece, il punto \(P^*\), di tangenza tra la curva di indifferenza con utilità attesa fissata a \(K_1\) e la frontierà delle opportunità è il punto di massimo. Invece, l’ordinata dell’intersezione tra la curva di indifferenza e l’asse dei rendimenti è l’equivalente certo, il quale viene anche detto prezzo di indifferenza.
La massimizzazione dell’utilità avviene appunto determinando il punto di massimo, tra i punti della frontiera efficiente.
Problemi di Ottimizzazione di Portafoglio
L’estensione della Teoria del Portafoglio finora trattata al caso a \(N \geq 2\) titoli è leggermente più complessa e richiede alcune nozioni di Algebra Lineare e di Analisi Matematica. Nel momento in cui i titoli sono più di \(2\), il portafoglio da considerare necessita di un numero maggiore di pesi, per cui dovremo considerare un intero vettore \(N\)-dimensionale di pesi \[{\bf {p}} = (p_1, \ldots , p_N), \ \ \text {tale che} \ \ p_1 + \cdots + p_N =1,\] come in una qualsiasi distribuzione discreta di probabilità.
Chiaramente, questo cambio di metodologia cambierà anche le formule per il rendimento medio e per la varianza del portafoglio.
Indicando con \(R_1, \ldots , R_N\) i rendimenti aleatori delle \(N\) azioni per comporre il portafoglio, e al solito con \(M = \mathbb {E}[R]\) il rendimento medio del portafoglio, avremo: \begin {equation} M = \mathbb {E}[R({\bf {p}})] = \sum _{j=1}^N p_j \mathbb {E}[R_j], \label {rendimentomedioportafoglioNazioni} \end {equation} avendo anche inserito per completezza (ma non sarebbe necessario) la dipendenza dal vettore dei pesi \(\bf {p}\), come faremo tra poco nella varianza.
D’altra parte, la varianza del portafoglio sarà necessariamente una funzione quadratica. Chiamando \(\sigma _1, \ldots , \sigma _N\) le volatilità dei singoli titoli e stavolta rinominando le covarianze come \(\text {Cov}(R_i, R_J) = \sigma _{ij}\), per \(i \neq j\), quindi la formula associata sarà \(\sigma _{ij} = \rho _{ij} \sigma _i \sigma _j\), l’espressione della varianza di portafoglio \(\sigma ^2\) risulterà una forma quadratica: \begin {equation} \sigma ^2({\bf {p}}) = \sum _{i=1}^N p_i^2 \sigma _i^2 + 2 \sum _{i=1}^{N-1} \sum _{i < j} p_i p_j \sigma _{ij}. \label {varianzaportafoglioNazioni} \end {equation} L’espressione (5.4.2) merita qualche commento: la varianza è decomposta additivamente tra la prima somma delle \(N\) varianze dei titoli e una seconda somma, che è doppia, e che contiene tutti i prodotti misti tra le volatilità, pesati con i rispettivi pesi. Il grado è \(2\), per tutti i termini della varianza. Il caso più semplice, con \(N = 2\), sarebbe: \[\sigma ^2(p_1,p_2) = p_1^2 \sigma _1^2 + p_2^2 \sigma _2^2 + p_1 p_2 \sigma _{12} + p_2 p_1 \sigma _{21} = p_1^2 \sigma _1^2 + p_2^2 \sigma _2^2 + 2 p_1 p_2 \sigma _{12},\] essendo evidentemente uguali le covarianze \(\sigma _{12}\) e \(\sigma _{21}\), come prodotti di fattori uguali.
La cosa molto importante è che le forme quadratiche si possono associare naturalmente alle matrici simmetriche dell’Algebra Lineare (ricordiamo che una matrice simmetrica è una matrice quadrata, cioè di \(N\) righe ed \(N\) colonne, che è uguale alla sua trasposta, cioè alla matrice ottenuta da quella di partenza scambiandone le righe e le colonne). Questo ci fornisce la possibilità di descrivere i problemi di Ottimizzazione di Portafoglio in forma vettoriale/matriciale. Abbiamo bisogno di alcune Definizioni.
Definizione 65. Date \(N\) v.a. \(R_1, \ldots , R_N\), si chiama matrice di covarianza (o delle varianze/covarianze) la matrice \[C = (\text {Cov}(R_i,R_j)) = (\sigma _{ij}) \in M_N(\mathbb {R}).\]
Ad esempio, per \(N = 3\), la matrice \(C\) ha la forma: \begin {equation*} C = \left ( \begin {array}{ccccc} \sigma _1^2 & & \sigma _{12} & & \sigma _{13} \\ & & & & \\ \sigma _{12} & & \sigma _2^2 & & \sigma _{23} \\ & & & & \\ \sigma _{13} & & \sigma _{23} & & \sigma _3^2 \end {array} \right ). \end {equation*} La matrice delle varianze/covarianze è simmetrica e definita positiva, vale a dire ha tutti autovalori reali positivi, e come tutte le matrici di questo tipo si associa naturalmente ad una forma quadratica definita positiva come la nostra varianza di portafoglio.
Definizione 66. Date \(N\) v.a. \(R_1, \ldots , R_N\), si chiama vettore dei rendimenti attesi il vettore \[{\bf {M}} = (M_1, \ldots , M_N)^T = (\mathbb {E}[R_1], \ldots , \mathbb {E}[R_N])^T \in \mathbb {R}^N.\]
Inoltre, denotiamo il portafoglio tramite i suoi pesi con il vettore \(\bf {p}\). Sia il rendimento medio (5.4.1) che la varianza di portafoglio (5.4.2) si possono scrivere quindi come prodotti scalari: \[M({\bf {p}}) = <{\bf {p}}, {\bf {M}}> = {\bf {p}}^T {\bf {M}}.\] \[\sigma ^2({\bf {p}}) = <{\bf {p}}, C {\bf {p}}> = {\bf {p}}^T C {\bf {p}}.\]
Esempio 67. Consideriamo un portafoglio composto dai seguenti \(3\) titoli:
- azione \(1\): \(M_1 = 2,5\%\), \(\sigma _1 = 6\%\);
- azione \(2\): \(M_2 = 3\%\), \(\sigma _2 = 7\%\);
- azione \(3\): \(M_3 = 3,1\%\), \(\sigma _3 = 11\%\).
Il vettore che indica le quote di azioni in portafoglio è \({\bf {p}} = (0.3, 0.5, 0.2)^T\). Inoltre, i coefficienti di correlazione tra le \(3\) azioni sono: \(\rho _{12} = 0.7\), \(\rho _{13} = 0.8\), \(\rho _{23} = 0.6\). Calcoliamo il rendimento medio di portafoglio e la varianza del portafoglio.
Prima di tutto, dobbiamo scrivere le matrici e i vettori che ci saranno necessari nel calcolo. Ma non abbiamo ancora le covarianze, che vanno prima di tutto ricavate grazie ai coefficienti di correlazione (al solito, approssimiamo alla quarta cifra): \[\sigma _{12} = \rho _{12}\sigma _1 \sigma _2 = 0,7 \cdot 0,06 \cdot 0,07 = 0,0029.\] \[\sigma _{13} = \rho _{13}\sigma _1 \sigma _3 = 0,8 \cdot 0,06 \cdot 0,11 = 0,0528.\] \[\sigma _{23} = \rho _{23}\sigma _2 \sigma _3 = 0,6 \cdot 0,07 \cdot 0,11 = 0,0046.\] La matrice \(C\) è dunque data da: \begin {equation*} C = \left ( \begin {array}{ccccc} 0,06^2 & & 0,0029 & & 0,0528 \\ & & & & \\ 0,0029 & & 0,07^2 & & 0,0046 \\ & & & & \\ 0,0528 & & 0,0046 & & 0,11^2 \end {array} \right ) = \left ( \begin {array}{ccccc} 0,0036 & & 0,0029 & & 0,0528 \\ & & & & \\ 0,0029 & & 0,0049 & & 0,0046 \\ & & & & \\ 0,0528 & & 0,0046 & & 0,0121 \end {array} \right ). \end {equation*} Invece, il vettore dei rendimenti medi è \({\bf {M}} = (0.025, 0.03, 0.031)^T.\) Di conseguenza, il rendimento atteso del portafoglio è dato da: \[M({\bf {p}}) = <{\bf {p}}, {\bf {M}}> = <(0.3,0.5,0.2),(0.025,0.03,0.031)> =\] \[= 0.3 \cdot 0.025 + 0.5 \cdot 0.03 + 0.2 \cdot 0.031 = 0,0287 = 2,87\%.\] Perciò il rendimento medio di portafoglio è maggiore di quello dell’azione \(1\) ma più basso di quelli delle azioni \(2\) e \(3\).
Il calcolo della varianza di portafoglio è invece un pò più complesso: \[\sigma ^2({\bf {p}}) = <{\bf {p}}, C {\bf {p}}> = \] \[= \left <(0.3,0.5,0.2), \left ( \left ( \begin {array}{ccccc} 0,0036 & & 0,0029 & & 0,0528 \\ & & & & \\ 0,0029 & & 0,0049 & & 0,0046 \\ & & & & \\ 0,0528 & & 0,0046 & & 0,0121 \end {array} \right ) \left (\begin {array}{c} 0,3 \\ \\ 0,5 \\ \\ 0,2 \end {array} \right ) \right )^T \right > =\] (prima va svolto il prodotto matrice x vettore e poi il prodotto scalare) \[= \left <(0.3,0.5,0.2), \left (\begin {array}{c} 0,0036 \cdot 0,3 + 0,0029 \cdot 0,5 + 0,0528 \cdot 0,2 \\ \\ 0,0029 \cdot 0,3 + 0,0049 \cdot 0,5 + 0,0046 \cdot 0,2 \\ \\ 0,0528 \cdot 0,3 + 0,0046 \cdot 0,5 + 0,0121 \cdot 0,2 \end {array} \right )^T \right > =\] \[ = \left <(0.3,0.5,0.2), \left (\begin {array}{c} 0,0133 \\ \\ 0,0042 \\ \\ 0,0205 \end {array} \right )^T \right > = <(0.3,0.5,0.2),(0.0133, 0.0042, 0.0205)> = \] \[= 0,3 \cdot 0,0133 + 0,5 \cdot 0,0042 + 0,2 \cdot 0,0205 = 0,011.\] E per concludere, passiamo alla volatilità del portafoglio, con la solita radice quadrata: \[\sigma = \sqrt {0,011} = 0,1053 = 10,53\%,\] quindi la volatilità di portafoglio è più alta delle volatilità delle azioni \(1\) e \(2\), ma più bassa di quella dell’azione \(3\).
I problemi di ottimizzazione, in Economia, Finanza, Ricerca Operativa e varie altre discipline, tipicamente si suddividono in due grandi classi: quelli di ottimizzazione libera e quelli di ottimizzazione vincolata. Nell’ottimizzazione vincolata, di cui non farò una lunga discussione perchè esula dagli scopi di questo Corso, i vincoli possono essere di vario genere e riguardano le variabili rispetto a cui massimizzare o minimizzare. In generale, quando i vincoli sono espressi con delle disuguaglianze, si fa riferimento alla Teoria di Kuhn-Tucker, mentre quando sono espressi da uguaglianze, come ad esempio certi vincoli di budget in Microeconomia, in generale si utilizza il Metodo dei Moltiplicatori di Lagrange. Vedremo in breve come usare il secondo metodo in un problema di Ottimizzazione di Portafoglio.
Supponiamo di potere scegliere, per il nostro portafoglio, un numero \(N\) di azioni di cui conosciamo sia i rendimenti medi che le volatilità che i coefficienti di correlazione e di dover decidere come ripartire il nostro portafoglio, cioè di avere come incognite i pesi \(p_1, \ldots , p_N\). In questo caso il vincolo lineare è solo quello sulla somma dei pesi, cioè \(p_1 + \cdots + p_N = 1\). Anche questo è un problema di determinazione del PVM, quindi dovremo minimizzare la funzione varianza, che però è quadratica nei pesi, come già sappiamo dall’espressione (5.4.2).
L’idea alla base del Metodo dei Moltiplicatori di Lagrange2, nel caso ad un unico vincolo, è la seguente: data una determinata funzione \(\sigma ^2(p_1, \ldots , p_N)\) da minimizzare, e il relativo vincolo scritto in forma \(F(p_1, \ldots , p_N) = 0\), si scrive una nuova funzione detta funzione Lagrangiana con un’ulteriore variabile, detta moltiplicatore di Lagrange, solitamente indicata con \(\lambda \): \[L(p_1, \ldots , p_N, \lambda ) = \sigma ^2(p_1, \ldots , p_N) + \lambda F(p_1, \ldots , p_N).\] Ora, si calcola e annulla il gradiente della funzione Lagrangiana (il gradiente, va ricordato, è il vettore delle derivate parziali della funzione a più variabili), e dal sistema risultante, si ottiene il punto di minimo desiderato. Vediamo un Esempio-guida svolto con \(3\) titoli.
Esempio 68. Data la seguente matrice delle varianze/covarianze, che descrive la varianza di un portafoglio con \(3\) azioni, determinare le quote \(p_1^*\), \(p_2^*\), \(p_3^*\) per comporre il PVM: \begin {equation*} C = \left ( \begin {array}{ccccc} 0,0041 & & 0,0003 & & 0,0411 \\ & & & & \\ 0,0003 & & 0,0053 & & 0,0008 \\ & & & & \\ 0,0411 & & 0,0008 & & 0,0099 \end {array} \right ). \end {equation*}
Inizialmente, scriviamo in modo esteso la funzione varianza da minimizzare, sempre basandoci sulla (5.4.2) con \(N = 3\): \[\sigma ^2(p_1,p_2,p_3) = 0,0041 p_1^2 + 0,0053 p_2^2 + 0,0099 p_3^2 + \] \[+ 0,0006 p_1 p_2 + 0,0822 p_1 p_3 + 0,0016 p_2 p_3.\] Il vincolo è dato dalla funzione \(F(p_1,p_2,p_3) = p_1 + p_2 + p_3 – 1 = 0\). Di conseguenza, la funzione Lagrangiana del problema è: \[L(p_1,p_2,p_3,\lambda ) = \sigma ^2(p_1,p_2,p_3) + \lambda (p_1 + p_2 + p_3 – 1).\] Annullare il gradiente della Lagrangiana ci fornisce un sistema lineare di \(4\) equazioni in \(4\) incognite: \begin {equation*} \begin {cases} \dfrac {\partial L}{\partial p_1} = 0 \\ \\ \dfrac {\partial L}{\partial p_2} = 0 \\ \\ \dfrac {\partial L}{\partial p_3} = 0 \\ \\ \dfrac {\partial L}{\partial \lambda } = 0 \end {cases} \ \Longrightarrow \ \begin {cases} 0,0082 p_1 + 0,0006 p_2 + 0,0822 p_3 + \lambda = 0 \\ 0,0106 p_2 + 0,0006 p_1 + 0,0016 p_3 + \lambda = 0 \\ 0,0198 p_3 + 0,0822 p_1 + 0,0016 p_2 + \lambda = 0 \\ p_1 + p_2 + p_3 = 1 \end {cases} . \end {equation*} Procediamo a risolvere il sistema per sostituzioni successive, ricavando \(\lambda \) nella prima equazione e \(p_1\) nella quarta: \begin {equation*} \begin {cases} \lambda = – 0,0082 (1 – p_2 – p_3) – 0,0006 p_2 – 0,0822 p_3 \\ \cdots \ \cdots \ \cdots \\ \cdots \ \cdots \ \cdots \\ p_1 = 1 – p_2 – p_3 \end {cases} \ \Longrightarrow \end {equation*} \begin {equation*} \Longrightarrow \ \ \begin {cases} \lambda = – 0,0082 + 0,0076 p_2 – 0,074 p_3 \\ \cdots \ \cdots \ \cdots \\ \cdots \ \cdots \ \cdots \\ p_1 = 1 – p_2 – p_3 \end {cases} \end {equation*} \[\Downarrow \] \begin {equation*} \begin {cases} \lambda = – 0,0082 + 0,0076 p_2 – 0,074 p_3 \\ 0,0106 p_2 + 0,0006 (1 – p_2 – p_3) + 0,0016 p_3 – 0,0082 + 0,0076 p_2 – 0,074 p_3 = 0 \\ 0,0198 p_3 + 0,0822 (1 – p_2 – p_3) + 0,0016 p_2 – 0,0082 + 0,0076 p_2 – 0,074 p_3 = 0 \\ p_1 = 1 – p_2 – p_3 \end {cases} \end {equation*} \[\Downarrow \] \begin {equation*} \begin {cases} \lambda = – 0,0082 + 0,0076 p_2 – 0,074 p_3 \\ 0,0176 p_2 – 0,073 p_3 – 0,0076 = 0 \\ -0,1364 p_3 – 0,073 p_2 + 0,074 = 0 \\ p_1 = 1 – p_2 – p_3 \end {cases} \end {equation*} \[\Downarrow \] \begin {equation*} \begin {cases} \lambda = – 0,0082 + 0,0076 p_2 – 0,074 p_3 \\ \\ p_2 = \dfrac {0,073 p_3 + 0,0076}{0,0176} \\ \\ -0,1364 p_3 – 0,073 \dfrac {0,073 p_3 + 0,0076}{0,0176} + 0,074 = 0 \\ p_1 = 1 – p_2 – p_3 \end {cases} \end {equation*} \[\Downarrow \] \begin {equation*} \begin {cases} \cdots \ \cdots \ \cdots \\ \cdots \ \cdots \ \cdots \\ p_3^* = \dfrac {0,0424}{0,4391} = 0,0965 \\ \cdots \ \cdots \ \cdots \end {cases}, \end {equation*} e successivamente sostituendo troviamo tutte le quote: \[p_2^* = \dfrac {0,073 \cdot 0,0965 + 0,0076}{0,0176} = 0,832.\] \[p_1^* = 1 – 0,832 – 0,0965 = 0,0715.\] Il valore di \(\lambda \) può anche non essere determinato, in quanto ininfluente per il risultato. In definitiva, il PVM è dato da: \[(p_1^*, p_2^*,p_3^*) = (0.0715, 0.832, 0.0965),\] cioè se noi avessimo da comprare \(10000\) azioni, ne compreremmo \(8320\) del tipo \(2\), \(965\) del tipo \(3\) e \(715\) del tipo \(1\). Sostituendo questi valori, troviamo anche il valore della varianza con questa ripartizione: \[\sigma ^2(p_1^*, p_2^*,p_3^*) = 0,0045.\]
2Una discussione e spiegazione più estesa su questo Metodo può essere trovata in qualsiasi libro di Analisi Matematica \(2\) o di Matematica Avanzata.
Estensione del Modello di Markowitz
Supponiamo di estendere la Teoria del Portafoglio standard con un’importante nuovo elemento: l’esistenza nel mercato, e quindi la facoltà di essere trattato come tutti gli altri titoli di natura aleatoria, di un titolo a rendimento certo, cioè a rischiosità nulla. L’avevamo già introdotto, descrivendolo come un punto \((0,M^*)\) sull’asse delle ordinate del piano Rischio-Rendimento. Intuitivamente, possiamo immaginarlo come un titolo obbligazionario che sarà sicuramente rimborsato, completamente e alla sua esatta scadenza1. Ora, costruiamo un portafoglio minimo con questo titolo a rendimento certo e un altro titolo, di rendimento \(R_1\), indicato dal punto \((\sigma _1,M_1)\), a coordinate positive, nel piano. Un’assunzione abbastanza naturale è che il rendimento medio del secondo titolo sia maggiore di quello dell’asset certo, che avendo rischio nullo, dovrebbe avere un rendimento certo ma ’basso’. Questo è piuttosto standard e confermato anche dal fatto che a basso rischio corrisponde un basso rendimento, basti pensare ai titoli valutati come ’tripla A’ dalle agenzie di rating, che spesso hanno rendimenti addirittura negativi (titoli di Stato tedeschi, olandesi, lussemburghesi, ecc.).
Chiamiamo \(p\) la quota del capitale iniziale \(x\) da investire nel titolo rischioso, \(R(p)\) il rendimento di portafoglio, ed \(M_p = \mathbb {E}[R(p)]\) il rendimento medio di portafoglio. Come sopra, il rendimento risulta: \[R(p) = p R_1 + (1-p) M^* \qquad \Longrightarrow \qquad M_p = p M_1 + (1 – p) M^*.\] Ora, considerando che la volatilità del titolo rischioso è \(\sigma (p) = p \sigma _1\), possiamo mettere rischio e rendimento in un’unica equazione lineare che passi per i \(2\) punti eliminando il parametro \(p\) (si può fare anche con una semplice formuletta da Scuola Superiore): \begin {equation} M = \dfrac {M_1 – M^*}{\sigma _1} \sigma + M^*. \label {semirettaconSharpe} \end {equation} Il coefficiente angolare della semiretta (6.1.1) è il cosiddetto indice di Sharpe del titolo \(1\), e la semiretta è invece indicata normalmente come Capital Allocation Line.
L’estensione più naturale successiva è un modello di portafoglio con \(2\) titoli rischiosi, corrispondenti ai punti \(P_1 = (\sigma _1,M_1)\) e \(P_2 = (\sigma _2,M_2)\) e un titolo a rendimento certo. In questo caso, e anche con \(N > 2\) titoli dai rendimenti aleatori, l’insieme possibile cambia la sua stessa Geometria, nel senso che non è più solo la parte interna dell’iperbole transverso. L’insieme possibile è costituito da tutte le semirette uscenti dal punto \((0,M^*)\) che hanno un punto in comune con l’iperbole di equazione cartesiana \(\sigma ^2 = \alpha M^2 + \beta M + \gamma \), come possiamo vedere in Figura \(11\), quindi una sorta di ’cono’ o di ’triangolo infinito’, tra le \(2\) semirette in Figura. Evidenziamo qui anche la Capital Market Line (o CML), che di fatto è la frontiera efficiente in questo caso. Notare che la seconda semiretta, quella inferiore, è esattamente simmetrica alla prima rispetto all’orizzontale, quindi in pratica è generata da una rotazione di \(180\) gradi attorno all’asse di simmetria, che è la retta orizzontale \(M = M^*\).
Per la determinazione dell’equazione della CML, esiste una formula abbastanza diretta da applicare. Si scrive il vettore dei rendimenti in eccesso \[{\bf {e^T}} = (M_1 – M^*, M_2 – M^*, \ldots , M_N – M^*)^T\] e successivamente, data la matrice delle varianze/covarianze \(C\), se ne calcola l’inversa \(C^{-1}\) (consideriamo ovviamente solo il caso non degenere in cui \(C\) è invertibile, ossia \(\det (C) \neq 0\)). L’indice di Sharpe è dato dalla seguente radice quadrata: \(\sqrt {< {\bf {e^T}}, C^{-1} {\bf {e}} >}\), dove \(<,>\) indica il consueto prodotto scalare euclideo.
Il punto \(T\) in Figura \(11\), in cui si intersecano l’iperbole e la CML, è il cosiddetto portafoglio di tangenza, e corrisponde all’unico portafoglio possibile, che si trova sulla ”normale” frontiera efficiente, che prevede di investire soltanto in titoli azionari, quindi investendo \(0\) nel titolo non rischioso. Il concetto del portafoglio di tangenza \(T\) è anche il punto di partenza per introdurre il CAPM.
Esempio 71. Consideriamo un modello in cui ci sono \(2\) titoli azionari rischiosi, con indici \(1\) e \(2\), avendo i seguenti volatilità e rendimenti medi: \[A_1 = (0.1,0.05), \qquad \qquad A_2 = (0.15,0.08),\] e un titolo non rischioso \(A_0 = (0,0.019)\). Dato l’indice di correlazione \(\rho _{12} = 0,7\), troviamo l’indice di Sharpe e l’equazione della CML.
Cominciamo scrivendo la matrice delle varianze/covarianze: \begin {equation*} C = \left (\begin {array}{ccc} \sigma _1^2 & & \rho _{12} \sigma _1 \sigma _2 \\ & & \\ \rho _{12} \sigma _1 \sigma _2 & & \sigma _2^2 \end {array} \right ) = \left (\begin {array}{ccc} 0,01 & & 0,0105 \\ & & \\ 0,0105 & & 0,0225 \end {array} \right ). \end {equation*} Ora, scriviamo il vettore \(\textbf {e} \in \mathbb {R}^2\) dei rendimenti in eccesso rispetto al rendimento certo, cioè: \begin {equation*} \bf {e} = \left ( \begin {array}{c} 0,05 – 0,019 \\ \\ \\ 0,08 – 0,019 \end {array} \right ) = \left (\begin {array}{c} 0,031 \\ 0,061 \end {array} \right ). \end {equation*} L’indice di Sharpe si trova dalla seguente formula: \[SR = \sqrt {< {\bf {e^T}}, C^{-1} {\bf {e}} >}.\] Calcolare l’inversa di una matrice \(2×2\) è abbastanza semplice, ricordando che data \begin {equation*} A = \left (\begin {array}{ccc} a & & b \\ & & \\ c & & d \end {array} \right ), \end {equation*} la sua inversa è \begin {equation*} A^{-1} = \dfrac {1}{a d – bc}\left (\begin {array}{ccc} d & & – b \\ & & \\ – c & & a \end {array} \right ), \end {equation*} nel nostro caso avremo: \begin {equation*} C^{-1} = \dfrac {1}{\det (C)}\left (\begin {array}{ccc} 0,0225 & & – 0,0105 \\ & & \\ – 0,0105 & & 0,01 \end {array} \right ) = \left (\begin {array}{ccc} 196,078 & & – 91,503 \\ & & \\ – 91,503 & & 87,145 \end {array} \right ). \end {equation*} Calcoliamo quindi l’indice di Sharpe: \begin {equation*} SR = \sqrt {\left < (0.031,0.061), \ \left (\left (\begin {array}{ccc} 196,078 & & – 91,503 \\ & & \\ – 91,503 & & 87,145 \end {array} \right ) \cdot \left (\begin {array}{c} 0,031 \\ 0,061 \end {array} \right ) \right )^T \right >} = \end {equation*} \[ = \sqrt {<(0.031,0.061), \ (0.496, 2.479)>} = \sqrt {0,166595} = 0,408.\] La CML ha dunque equazione: \[M = 0,019 + 0,408 \sigma .\]
1In [S], l’autore suggerisce un’altra possibile interpretazione, di natura più ’bancaria’: un conto di deposito perpetuo che offre un determinato rendimento periodale certo.
Esercizi Proposti
1. Calcolare le funzioni di rendimento medio e di varianza di un portafoglio a \(2\) titoli, con le seguenti caratteristiche:
- azione \(1\): \(R_1 = 4,1\%\), \(\sigma (R_1) = 6,1\%\),
- azione \(2\): \(R_2 = 2,1\%\), \(\sigma (R_2) = 2,7\%\),
con coefficiente di correlazione \(\rho _{12} =0,37\). Usare \(p\) come parametro percentuale che pesa la quota investita nell’azione \(1\).
\(\left [\mathbb {E}[R(p)] = 0,021 + 0,02 p. \qquad \sigma ^2(p) = 0,0032 p^2 – 0,0002 p + 0,0007 \right ]\)
2. Date le \(2\) seguenti azioni da inserire in un portafoglio, aventi le seguenti caratteristiche:
- azione \(1\): \(R_1 = 1,1\%\), \(\sigma (R_1) = 1,9\%\),
- azione \(2\): \(R_2 = 0,7\%\), \(\sigma (R_2) = 1,7\%\),
con coefficiente di correlazione \(\rho _{12} =0,05\), determinare la quota \(p^*\) da investire nell’azione \(1\) che corrisponde al portafoglio di minima varianza (PVM). \(\left [p^* = 0,4652 \right ]\)
3. Date le \(2\) seguenti azioni da inserire in un portafoglio, aventi le seguenti caratteristiche:
- azione \(1\): \(R_1 = 3,1\%\), \(\sigma (R_1) = 2,9\%\),
- azione \(2\): \(R_2 = 0,9\%\), \(\sigma (R_2) = 1,1\%\),
determinare il loro coefficiente di correlazione \(\rho _{12}\), affinche la quota \(p^*\) da investire nell’azione \(1\) corrispondente al portafoglio di minima varianza (PVM) sia uguale a \(0,2\). \(\left [\rho _{12} = – 0,373\right ]\)
4. Data la seguente matrice delle varianze/covarianze, che descrive la varianza di un portafoglio con \(3\) azioni, determinare le quote \(p_1^*\), \(p_2^*\), \(p_3^*\) per comporre il PVM: \begin {equation*} C = \left ( \begin {array}{ccccc} 0,01 & & 0 & & 0,04 \\ & & & & \\ 0 & & 0,091 & & 0 \\ & & & & \\ 0,04 & & 0 & & 0,07 \end {array} \right ). \end {equation*}
\(\left [(p_1^*,\ p_2^*,\ p_3^*) = (-3.0333, \ 1, \ 3.0333)\right ]\)
5. Data la seguente matrice delle varianze/covarianze, che descrive la varianza di un portafoglio con \(4\) azioni, determinare le quote \(p_1^*\), \(p_2^*\), \(p_3^*\), \(p_4\) per comporre il PVM: \begin {equation*} C = \left ( \begin {array}{ccccccc} 0,03 & & 0 & & – 0,04 & & 0 \\ & & & & & & \\ 0 & & 0,07 & & 0 & & 0 \\ & & & & \\ – 0,04 & & 0 & & 0,05 & & – 0.01 \\ & & & & \\ 0 & & 0 & & – 0.01 & & 0,06 \end {array} \right ). \end {equation*}
\(\left [(p_1^*,\ p_2^*,\ p_3^*,\ p_4^*) = (0.533, \ – 0.0119, \ 0.4205, \ 0.0562 )\right ]\)
6. Data la funzione di utilità \(u(x)=\sqrt [4]{4 x} + 1\), ricavare l’espressione della misura di avversione al rischio di Arrow-Pratt \(r_u(x)\),l’espressione della curva di indifferenza nel piano \((\sigma ,M)\) al livello \(K=5\), e il valore dell’equivalente certo \(M^*\).
\(\left [r_u(x) = \dfrac {3}{4 x}. \qquad M(\sigma ) = \dfrac {(\sigma + 4)^4}{4}. \qquad M^* = 64\right ]\)
