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Elementi di Teoria delle Preferenze
Le preferenze rappresentano un concetto di grande importanza in Economia, e la loro formalizzazione matematica è fondamentale. In particolare, bisognerà ricordare la nozione di relazione d’ordine, e le sue proprietà algebriche. Cominciamo a dare una prima Definizione dell’insieme che contiene le possibili posizioni da confrontare.
Definizione 34. L’insieme \(\mathcal {X}\) che contiene tutte le possibili posizioni patrimoniali raggiungibili dall’individuo \(I\) al tempo \(t\), è detto insieme delle opportunità.
Naturalmente, anche la posizione patrimoniale di partenza \(X \in \mathcal {X}\).
Nell’insieme delle opportunità, va definito un criterio di preferenza, necessario per stabilire, nella scelta tra due qualsiasi strategie o posizioni finanziarie, quale sia da preferire. Essenzialmente, ci vuole quello che in Algebra si chiama una relazione d’ordine, o un ordinamento. Il punto di partenza è la definizione di una cosiddetta preferenza debole, che è indicata con un simbolo simile al ’maggiore o uguale’. Dati due qualsiasi elementi \(X_1, X_2 \in \mathcal {X}\): \[X_1 \succeq X_2 \qquad \text {significa che } X_1 \text { o è da preferire o è equivalente a } X_2.\] In altre parole, la posizione \(X_1\) è debolmente preferita a \(X_2\) oppure \(X_1\) è gradita, o favorevole, almeno quanto \(X_2\). Immediatamente e conseguentemente, possiamo definire una preferenza stretta, questa volta analoga al ’maggiore’ o ’maggiore stretto’, nel modo seguente. Date due qualsiasi posizioni \(X_1, X_2 \in \mathcal {X}\): \[X_1 \succ X_2 \qquad \text {se } X_1 \succeq X_2 \ \ \text {ma invece non vale } X_2 \succeq X_1.\] Questa impostazione definisce implicitamente una relazione di indifferenza tra le posizioni \(X_1\) e \(X_2\): \[X_1 \sim X_2 \qquad \text {se } \qquad X_1 \succeq X_2 \ \ \text { e anche } \ \ X_2 \succeq X_1.\] La scrittura \(X_1 \sim X_2\) stabilisce che \(X_1\) e \(X_2\) sono tra loro indifferenti.
Qui di seguito, richiamiamo le proprietà algebriche della relazione d’ordine e della relazione di indifferenza.
Proprietà della relazione d’ordine debole \(\succeq \)
- Riflessività: per ogni \(X \in \mathcal {X}\), si ha che \(X \succeq X\).
- Transitività: per ogni \(X_1, X_2, X_3 \in \mathcal {X}\), si ha che \[X_1 \succeq X_2 \ \ \text { e } \ \ X_2 \succeq X_3 \qquad \Longrightarrow \qquad X_1 \succeq X_3.\]
- Completezza: per ogni \(X_1, X_2 \in \mathcal {X}\), si ha: \[ \text {o} \ \ \ X_1 \succeq X_2 \ \ \ \text { oppure } \ \ \ X_2 \succeq X_1.\]
La terza proprietà ha una grande importanza, in quanto stabilisce che tutte le opportunità, o posizioni, sono tra loro confrontabili. Naturalmente vige una relazione d’ordine, stretto tra l’altro, anche tra i numeri reali, sulla retta \(\mathbb {R}\). Invece, la relazione di indifferenza possiede le classiche proprietà di una relazione di equivalenza (la completezza è sostituita dalla simmetria).
Proprietà della relazione di indifferenza \(\sim \)
- Riflessività: per ogni \(X \in \mathcal {X}\), si ha che \(X \sim X\).
- Transitività: per ogni \(X_1, X_2, X_3 \in \mathcal {X}\), si ha che \[X_1 \sim X_2 \ \ \text { e } \ \ X_2 \sim X_3 \qquad \Longrightarrow \qquad X_1 \sim X_3.\]
- Simmetria: per ogni \(X_1, X_2 \in \mathcal {X}\), si ha che se \(X_1 \sim X_2\), anche \(X_2 \sim X_1\).
Esempi interessanti di relazioni di equivalenza provengono da altri ambiti della Matematica, ad esempio data una certa retta \(r\) nello spazio tridimensionale, tutte le rette ad essa parallele sono in relazione di equivalenza con lei, e così anche la similitudine tra triangoli è una relazione di equivalenza. Invece, relazioni d’ordine un pò più complesse provengono dal Calcolo della Probabilità, e servono a ordinare le variabili aleatorie.
Dominanza Stocastica del I e del II Ordine
Una prima relazione d’ordine sulle v.a. continue è la cosiddetta dominanza stocastica del I ordine. Consideriamo \(2\) variabili aleatorie continue \(X\) ed \(Y\), le cui rispettive funzioni di ripartizione sono \(F_X\) ed \(F_Y\), e le cui rispettive distribuzioni di probabilità sono \(f_X\) e \(f_Y\). Quindi avremo, per ogni \(t \in \mathbb {R}\) \[P(\left \{X \leq t \right \})=F_X(t)=\int _{-\infty }^{t} f_X(s)ds,\] \[P(\left \{Y \leq t \right \})=F_Y(t)=\int _{-\infty }^{t} f_Y(s)ds.\] Di conseguenza, mettendo a confronto le due variabili, possiamo stabilire che \(X\) sia preferibile ad \(Y\) quando sia più alta la probabilità che \(X\) prenda valori maggiori o uguali a una certa soglia rispetto a \(Y\). In forma di Definizione formale:
Definizione 35. Date \(2\) v.a. continue \(X\) e \(Y\), aventi rispettivamente \(F_X(t)\) e \(f_X(t)\) e \(F_Y(t)\) e \(f_Y(t)\) come funzioni di ripartizione e densità di probabilità, diciamo che \(X\) domina stocasticamente \(Y\) al I ordine se: \[\forall \ t \in \mathbb {R}, \ P(\left \{X > t \right \}) \geq P(\left \{Y > t \right \}).\]
Se \(X\) domina \(Y\), \(X\) si preferisce a \(Y\). Inoltre, quest’ultima condizione si può scrivere in termini di funzioni di ripartizione, vale a dire: \[P(\left \{X > t \right \}) \geq P(\left \{Y > t \right \}) \ \ \Longleftrightarrow \ \ 1-F_X(t) \geq 1-F_Y(t) \ \ \Longleftrightarrow \] \[\Longleftrightarrow \ \ 1-\int _{-\infty }^{t} f_X(s)ds \geq 1-\int _{-\infty }^{t} f_Y(s)ds \ \ \Longleftrightarrow \int _{-\infty }^{t} f_Y(s)ds \geq \int _{-\infty }^{t} f_X(s)ds,\] quindi \[X \ \text {si preferisce a } \ Y \ \ \text { se } \ \ \forall \ t \in \mathbb {R}, \ F_Y(t) \geq F_X(t).\] Di seguito, un semplice caso di dominanza stocastica del I ordine.
Esempio 36. Supponiamo di avere 2 v.a. continue \(X\) e \(Y\), con due differenti densità: la \(X\) è distribuita uniformemente su \((0,1)\), vale a dire ha le seguenti p.d.f. e funzione di ripartizione: \begin {equation*}
f_X(t)=\begin {cases} 1 \qquad \text {se } t \in (0,1) \\ \\ 0 \qquad \text { altrimenti} \end {cases} \ \ \ \Longrightarrow \ \ F_X(t)=\begin {cases} 0 \qquad \text {se} \ t \in (-\infty ,0] \\ t \qquad \text {se } t \in (0,1) \\ 1 \qquad \text {se } t \in [1,+\infty ) \end {cases}. \end {equation*} Anche la v.a. \(Y\) è distribuita uniformemente, ma su un intervallo diverso. In particolare, ha le seguenti p.d.f. e funzione di
ripartizione: \begin {equation*} f_Y(t)=\begin {cases} 2 \qquad \text { se } t \in \left (0,\dfrac {1}{2}\right ) \\ \\ 0 \qquad \text { altrimenti} \end {cases} \ \ \ \Longrightarrow \ \ F_Y(t)=\begin {cases} 0 \qquad \text { se} \ t \in (-\infty ,0] \\ 2t \qquad \text {se } t \in \left (0,1/2 \right ) \\ 1 \qquad \text { se } t \in [1/2,+\infty ) \end {cases}. \end {equation*} 
Risulta abbastanza evidente che sul semiasse \((-\infty ,0]\) \(F_X(t)=F_Y(t)\), mentre \(F_Y(t)>F_X(t)\) su \((0,1)\), dopodichè \(F_Y(t)=F_X(t)\) su \([1, +\infty ]\), di conseguenza, coerentemente con la Definizione, \(X\) domina stocasticamente \(Y\) e quindi \(X\) va preferito a \(Y\).
Esiste poi un’ulteriore forma di dominanza stocastica, che è la dominanza stocastica del II ordine. Viene utilizzata se la dominanza del I ordine non fornisce un ordine di preferenza tra le variabili, e si può esprimere in due diversi modi, equivalenti, che presentiamo nella seguente Definizione.
Definizione 37. Date due v.a. continue \(X\) e \(Y\), aventi rispettivamente \(F_X(t)\) e \(f_X(t)\) e \(F_Y(t)\) e \(f_Y(t)\) come funzioni di ripartizione e densità di probabilità, diciamo che \(X\) domina stocasticasticamente \(Y\) al II ordine se una delle seguenti condizioni è verificata:
- \[\forall \ t \in \mathbb {R}, \ \ \int _{-\infty }^t [F_Y(s)-F_X(s)]ds \geq 0,\]
- data una qualsiasi funzione di utilità \(U(\cdot )\) non-decrescente e concava, \[\mathbb {E}[U(X)] \geq \mathbb {E}[U(Y)].\]
La prima delle due condizioni della Definizione 37 si riferisce all’ampiezza dell’area sottostante alle funzioni di ripartizione delle \(2\) variabili, prendendo qualsiasi livello \(t\), e fondamentalmente significa che \(X\) si preferisce a \(Y\) se l’area sottostante a \(F_X\) è minore di quella sottostante a \(F_Y\), per qualsiasi valore. La seconda condizione, ha invece a che fare con l’utilità attesa, perchè stiamo usando l’operatore di media, o valore atteso, \(\mathbb {E}[\cdot ]\) non sulla v.a., ma sull’utilità che essa produce. Ci torneremo più avanti, ma per ora abbiamo fissato un principio naturale e coerente con la razionalità economica: tra \(2\) esiti aleatori, quello la cui utilità attesa è maggiore è da preferirsi.
L’Operatore di Ordinamento
Possiamo rappresentare le preferenze di un individuo \(\mathcal {I}\) esprimendo la relazione tra le opportunità con un cosiddetto operatore di ordinamento, che sia naturalmente associato alla preferenza \(\succeq \).
Definizione 38. Un operatore di ordinamento è una funzione \(H\) definita sull’insieme delle opportunità \(\mathcal {X}\) e a valori reali, cioè che associa ad ogni \(X \in \mathcal {X}\) un numero \(H(X) \in \mathbb {R}\), con le seguenti proprietà:
- \[H(X_2)>H(X_1) \qquad \Longleftrightarrow \qquad X_2 \succ X_1.\]
- \[H(X_2)=H(X_1) \qquad \Longleftrightarrow \qquad X_2 \sim X_1.\]
In un certo senso, \(H\) associa ad ogni posizione il suo ’punteggio’, o score, che esprime la convenienza, o il gradimento, da parte dell’individuo \(\mathcal {I}\). Quindi l’ordinamento sull’insieme delle opportunità \(\mathcal {X}\) risulta esattamente associato alla relazione d’ordine naturale tra i numeri reali.
Una dicitura alternativa per l’operatore di ordinamento \(H(\cdot )\) è quella di funzione di utilità ordinale. Di seguito, elenchiamo alcune possibili proprietà che \(H(\cdot )\) può possedere.
Definizione 39. Dato un’operatore di ordinamento \(H:\mathcal {X} \longrightarrow \mathbb {R}\), si dice che \(H\) è omogeneo di grado \(k\) se, per ogni posizione \(X \in \mathcal {X}\), e per ogni \(a \in \mathbb {R}\) tale che \(aX \in \mathcal {X}\), si ha: \[H(a X)=a^k H(X).\]
La Definizione 39 chiaramente ricorda quella di omogeneità di grado \(k\) delle normali funzioni, con la differenza data dal fatto che se \(X\) è una posizione dello spazio delle opportunità, non necessariamente anche \(a X\) lo è, o quantomento non è detto che lo sia per tutti gli \(a \in \mathbb {R}\), e quindi la Definizione può risultare ’ristretta’. Alcuni noti operatori del Calcolo delle Probabilità sono omogenei.
Esempio 40. Data una v.a. \(X\) discreta, il suo valore atteso \(\mathbb {E}[X]\) è omogeneo di grado \(1\). Infatti, descrivendo \(X\) e \(a X\), per \(a \in \mathbb {R}\), si ha: \begin {equation*} X=\begin {cases} x_1 \ \text { con probabilità } \ p_1 \\ x_2 \ \text { con probabilità } \ p_2 \\ \vdots \\ x_N \ \text { con probabilità } \ p_N \end {cases}, \qquad a X=\begin {cases} a x_1 \ \text { con probabilità } \ p_1 \\ a x_2 \ \text { con probabilità } \ p_2 \\ \vdots \\ a x_N \ \text { con probabilità } \ p_N \end {cases}, \end {equation*} evidentemente con \(p_1+\cdots +p_N=1\), avremo le medie: \[\mathbb {E}[X]=x_1 p_1 + \ldots + x_N p_N, \qquad \qquad \mathbb {E}[aX]=ax_1 p_1 + \cdots + a x_N p_N,\] da cui banalmente \(\mathbb {E}[aX]=a \mathbb {E}[X]\), quindi l’omogeneità sussiste ed è di grado \(1\).
Esempio 41. Data una v.a. \(X\) discreta, la sua varianza \(\text {Var}(X)\) è omogenea di grado \(2\). Infatti, descrivendo \(X\) e \(a X\) come nell’Esempio precedente, avremo: \[\text {Var}(X)=\mathbb {E}[X^2]-\left (\mathbb {E}[X]\right )^2=x_1^2 p_1 + \cdots +x_N^2 p_N-\left (x_1p_1+\cdots +x_N p_N \right )^2,\] \[\text {Var}(aX)=\mathbb {E}[(aX)^2]-\left (\mathbb {E}[aX]\right )^2=a^2 x_1^2 p_1 + \cdots +a^2 x_N^2 p_N-\left (a x_1p_1+\cdots + a x_N p_N \right )^2,\] quindi \[\text {Var}(aX)=a^2 \left ( x_1^2 p_1 + \cdots +x_N^2 p_N \right )-a^2 \left ( x_1p_1+\cdots + x_N p_N \right )^2=\] \[=a^2 \left [\left ( x_1^2 p_1 + \cdots +x_N^2 p_N \right )- \left ( x_1p_1+\cdots + x_N p_N \right )^2 \right ]=a^2 \left [\mathbb {E}[X^2]-\left (\mathbb {E}[X]\right )^2 \right ],\] da cui \(\text {Var}(aX)=a^2 Var(X),\) quindi il grado di omogeneità della varianza è \(2\).
Definizione 42. Dato un’operatore di ordinamento \(H:\mathcal {X} \longrightarrow \mathbb {R}\), e date due posizioni \(X_1, X_2 \in \mathcal {X}\), tali che la somma sia ancora una posizione ammissibile, cioè \(X_1+X_2 \in \mathcal {X}\), si dice che \(H\) è
- additivo se \(H(X_1+X_2)=H(X_1)+H(X_2)\);
- subadditivo se \(H(X_1+X_2) \leq H(X_1)+H(X_2)\);
- superadditivo se \(H(X_1+X_2)=H(X_1)+H(X_2)\).
Ad esempio, è noto che l’operatore valore atteso è additivo, se i valori attesi delle v.a. sono finiti: \[\mathbb {E}[X_1+X_2]=\mathbb {E}[X_1]+\mathbb {E}[X_2].\] Invece la varianza è additiva solo se la covarianza è nulla, cioè se \(X_1\) e \(X_2\) sono non-correlate, vale \(Var(X_1+X_2)=Var(X_1)+Var(X_2)\).
Definizione 43. Dato un’operatore di ordinamento \(H:\mathcal {X} \longrightarrow \mathbb {R}\), per ogni coppia di posizioni \(X_1, X_2 \in \mathcal {X}\), e per ogni coppia di costanti \(\alpha _1\) e \(\alpha _2\) tali che la relativa combinazione lineare sia ancora una posizione ammissibile, cioè \(\alpha _1 X_1+ \alpha _2 X_2 \in \mathcal {X}\), si dice che \(H\) è lineare se \[H(\alpha _1 X_1+ \alpha _2 X_2)=\alpha _1 H(X_1)+ \alpha _2 H(X_2).\]
Si può dire che la linearità sia l’unione di due diverse proprietà: additività e omogeneità di grado \(1\). Di conseguenza, l’operatore valore atteso \(\mathbb {E}[\cdot ]\) è lineare, in quanto soddisfa entrambe le proprietà.
L’Equivalente Certo
L’insieme \(\mathcal {X}\) non necessariamente contiene soltanto posizioni aleatorie, cioè descritte da variabili aleatorie. Tra le opportunità possono esserci anche importi certi, cioè esenti da ogni forma di incertezza. Per evitare confusione nella notazione, li denoteremo con \(x\) minuscola, e in tal caso l’operatore di ordinamento sarà semplicemente una funzione reale di \(x\), che chiameremo \(h(x)\).
Data la tipica ipotesi di razionalità economica degli agenti, che presuppone che essi puntino sempre a massimizzare i loro profitti. Questo induce una preferenza ’naturale’ su \(h(\cdot )\), come fosse una funzione utilità o payoff. Molto semplicemente, dati due importi certi \(x_1\) e \(x_2\) nell’insieme \(\mathcal {X}\), si ha: \[\qquad \qquad x_2>x_1 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ h(x_2)>h(x_1), \qquad \qquad \] in altre parole, \(h(\cdot )\) dovrà essere strettamente crescente. Inoltre, possiamo assumere che essa sia almeno continua, mentre per le principali applicazioni la derivabilità non è necessaria.
Un concetto di grande importanza si può introdurre nel modo seguente. Per ogni posizione aleatoria \(X \in \mathcal {X}\) è sempre possibile individuare un valore certo \(x^*\) che sia equivalente a \(X\), ossia \(x^* \sim X\). L’equivalenza si basa sul fatto che i ’punteggi’ forniti da entrambe le posizioni siano uguali, cioè: \[h(x^*)=H(X).\] Ma se ricordiamo le ipotesi di cui sopra sulla funzione \(h(\cdot )\), essa è crescente e continua, e quindi, come sappiamo dall’Analisi Matematica di base, anche invertibile. Inoltre, dovendo essere a valori positivi, continua e strettamente crescente, assumendo che il suo codominio sia l’intero semiasse positivo, uno dei valori che prenderà sarà uguale al valore preso da \(H(X)\), anch’esso positivo. A questo punto, per definire in modo univoco \(x^*\), ci basterà invertire la funzione \(h\): \begin {equation} \label {equivalentecerto} x^*=h^{-1}(H(X)). \end {equation} Quindi, l’importo \(x^*\) indica la situazione patrimoniale che l’individuo \(\mathcal {I}\) valuta come equivalente alla posizione incerta \(X\). Lo definiamo l’equivalente certo di \(X\) per \(\mathcal {I}\).
Avendo a disposizione la forma funzionale dell’utilità e ovviamente tutte le caratteristiche della situazione finanziaria, l’equivalente certo \(x^*\) è calcolabile, come nel seguente Esempio.
Esempio 44. Consideriamo una v.a. discreta \(X\) che indica il guadagno a fine anno di un individuo \(\mathcal {I}\), i cui possibili esiti sono i seguenti \(3\): \begin {equation*} X=\begin {cases} x_1 = 1000 \ \text {euro} \ \text { con probabilità } \ p_1= 1/3 \\ x_2 = 600 \ \text {euro} \ \ \text { con probabilità } \ p_2=1/2 \\ x_3 = 0 \ \text {euro} \ \ \ \ \ \text { con probabilità } \ p_3 =1/6 \end {cases}, \end {equation*} e la funzione di utilità di \(\mathcal {I}\) è data da \(h(x)=\ln (1+x)\). Preliminarmente, calcoliamo l’utilità attesa di \(X\), quindi \[\mathbb {E}[H(X)]=\ln (1+1000) \cdot \dfrac {1}{3}+\ln (1+600)\cdot \dfrac {1}{2}+ \ln (1+0)\cdot \dfrac {1}{6}=5,502.\] Non usiamo unità di misura per questa quantità, sempre considerandola una sorta di ’score atteso’. Ora, applichiamo la Definizione di equivalente certo per calcolarlo esplicitamente: \[h(x^*)=5,502 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \ln (1+x^*)=5,502 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x^*=e^{5,502}-1=244,181.\] Quindi il possesso certo di \(244,181\) euro è considerato dall’individuo \(\mathcal {I}\) equivalente al guadagno incerto descritto dalla v.a. \(X\), con questa struttura di utilità data.
Nel prossimo Esempio, consideriamo un classico scenario di ’lotteria’, basato sui lanci successivi di un dado a \(6\) facce. Vedremo anche cosa comporta praticamente usare un operatore di ordinamento anzichè un altro.
Esempio 45. L’individuo \(\mathcal {I}\) può scegliere se partecipare a una lotteria, intesa come una successione di scommesse, basate sui lanci successivi di un dado regolare a \(6\) facce (per regolare si intende non truccato, vale a dire in cui ogni esito è equiprobabile ed ha probabilità costante \(1/6\)).
Se \(\mathcal {I}\) non partecipa alla lotteria, mantiene il suo capitale iniziale \(C=100\) euro. Altrimenti, ad ogni lancio guadagna del denaro aggiuntivo se esce un numero compreso tra \(4\) e \(6\) (Vittoria), e perde invece del denaro se l’esito è un numero che sta tra \(1\) e \(3\) (Sconfitta). Nella seguente tabella descriviamo le quattro diverse posizioni. La prima, \(C\), corrisponde all’astensione dal gioco. Invece, \(X_1\), \(X_2\) e \(X_3\) corrispondono alla partecipazione alle \(3\) estrazioni.
| Posizione | Vittoria | Sconfitta | Totale (con vittoria) | Totale (con sconfitta) |
| \(C\) | \(0\) | \(0\) | \(100\) | \(100\) |
| \(X_1\) | \(30\) | \(-20\) | \(130\) | \(80\) |
| \(X_2\) | \(40\) | \(-60\) | \(140\) | \(40\) |
| \(X_3\) | \(20\) | \(-30\) | \(120\) | \(70\) |
Consideriamo diversi operatori di ordinamento e analizziamone l’effetto. Ad esempio, consideriamo inizialmente il valore atteso, quindi \[H(C)=100, \qquad H(X_K)=\mathbb {E}[X_k].\] Banalmente, il valore atteso di una costante è la costante stessa, in questo caso la quantità certa \(100\), corrispondente a \(C\). Poichè le probabilità di Vittoria e Sconfitta sono sempre uguali ad ogni lancio, \(1/2\) e \(1/2\) in quanto entrambe corrispondono a \(3\) esiti favorevoli sui \(6\) casi possibili, le medie sono aritmetiche. Avremo: \[H(X_1)=\mathbb {E}[X_1]=\dfrac {130+80}{2}=105 \ \text { euro}.\] \[H(X_2)=\mathbb {E}[X_2]=\dfrac {140+40}{2}=90 \ \text { euro}.\] \[H(X_3)=\mathbb {E}[X_3]=\dfrac {120+70}{2}=95 \ \text { euro}.\] Quindi, poichè l’ordine tra gli score delle varie posizioni è: \[H(X_1) \ > \ H(C) \ > \ H(X_3) \ > \ H(X_2),\] di conseguenza l’ordine indotto sulla preferenza di \(\mathcal {I}\) sarà: \[X_1 \ \ \ \ \succ \ \ \ \ C \ \ \ \ \succ \ \ \ \ X_3 \ \ \ \ \succ \ \ \ \ X_2.\] Consideriamo ora un diverso operatore di ordinamento, ad esempio la varianza, quindi: \[H(C)=\text {Var}(C)=0, \qquad H(X_K)=\text {Var}(X_k),\] perchè ovviamente la varianza di una costante è \(0\). Calcoliamo gli score delle altre posizioni, sfruttando la formula semplificata per la varianza: \[H(X_1)=\text {Var}(X_1)=\mathbb {E}[X_1^2]-\left (\mathbb {E}[X_1]\right )^2=\] \[=\dfrac {130^2+80^2}{2}-\left (\dfrac {130+80}{2}\right )^2=625 \ \text { euro}.\] \[H(X_2)=\text {Var}(X_2)=\mathbb {E}[X_2^2]-\left (\mathbb {E}[X_2]\right )^2=\] \[=\dfrac {140^2+40^2}{2}-\left (\dfrac {140+40}{2}\right )^2=2500 \ \text { euro}.\] \[H(X_3)=\text {Var}(X_3)=\mathbb {E}[X_3^2]-\left (\mathbb {E}[X_3]\right )^2=\] \[=\dfrac {120^2+70^2}{2}-\left (\dfrac {120+70}{2}\right )^2=625 \ \text { euro}.\] Ora, se seguissimo l’ordinamento dell’operatore valore atteso, in assoluto la posizione preferita sarebbe \(X_2\), che ha varianza nettamente più alta. Ma se la varianza rappresentasse l’utilità, la posizione certa \(C\) avrebbe utilità \(0\), e non avrebbe senso. Quindi potremmo ragionare in modo opposto, e preferire la posizione con varianza minore, ossia con minore scostamento quadratico dalla media e quindi con minore ’rischio’. In ogni modo, la varianza non è adeguata a costruire un operatore di ordinamento in base al quale rimanga indotta una preferenza.
Molto meglio, l’operatore ’differenza tra valore atteso e deviazione standard’, vale a dire: \[H(X)=\mathbb {E}[X]-\sqrt {\text {Var}(X)},\] i cui valori sono: \[H(C)=100, \qquad H(X_1)=80, \qquad H(X_2)=40, \qquad H(X_3)=70.\] Quindi, l’ordinamento sarà: \[H(C) \ > \ H(X_1) \ > \ H(X_3) \ > \ H(X_2),\] da cui, quello indotto sulla preferenza di \(\mathcal {I}\): \[C \ \ \ \ \succ \ \ \ \ X_1 \ \ \ \ \succ \ \ \ \ X_3 \ \ \ \ \succ \ \ \ \ X_2.\]
Criteri di Preferenza e Rischio
Come abbiamo visto nell’ultimo Esempio, il valore atteso può essere scelto come operatore di ordinamento per generare una preferenza nell’insieme delle opportunità \(\mathcal {X}\). Questo è l’approccio più diretto, più intuitivo, più calcolabile anche senza strumenti matematici raffinati.
Se \(H(X)=\mathbb {E}[X]\), e si sceglie l’ordine di preferenza sui numeri reali indotto dal valore atteso, si sta scegliendo il cosiddetto Criterio del Valore Atteso.
In questo caso, una posizione certa \(x\) ha come media se stessa, quindi \(h(x)=x\), \(h^{-1}(y)=y\) e l’equivalente certo è ancora \(x\). Tornando poi al Capitolo precedente, in cui avevamo denotato con \(G\) la v.a. ’guadagno’, il criterio diventa quello del Guadagno Atteso, anche perchè per la linearità del valore atteso, si ha: \[\mathbb {E}[G]=\mathbb {E}[Y-X]=\mathbb {E}[Y]-\mathbb {E}[X],\] e questo fornisce un’immediata valutazione della posizione. Banalmente, la scelta di passare dalla posizione \(X\) alla posizione \(Y\) sarà:
- favorevole se \(\mathbb {E}[G]>0 \ \ \ \Longleftrightarrow \ \ \ \mathbb {E}[Y]>\mathbb {E}[X]\);
- equa se \(\mathbb {E}[G]=0 \ \ \ \Longleftrightarrow \ \ \ \mathbb {E}[Y]=\mathbb {E}[X]\);
- sfavorevole se \(\mathbb {E}[G]<0 \ \ \ \Longleftrightarrow \ \ \ \mathbb {E}[Y]<\mathbb {E}[X]\).
Quindi il problema da risolvere per l’individuo \(\mathcal {I}\) consisterà nella massimizzazione del guadagno atteso \(\mathbb {E}[G]\).
Va notato come il concetto di equità di un’operazione finanziaria è già noto dalla Matematica Finanziaria di base, in cui non ci sono elementi di incertezza. In particolare, un’operazione finanziaria si dice equa quando ha valore attuale \(0\). Quindi, qui si aggiunge la casualità considerando anche il valore atteso della posizione.
In ogni caso, un criterio basato soltanto sul valore atteso, o guadagno atteso, è troppo rozzo e impreciso per descrivere le preferenze degli agenti. Considerando una qualsiasi posizione \(X \in \mathcal {X}\), possiamo decomporla come segue: \[X=\mathbb {E}[X]+(X-\mathbb {E}[X]),\] cioè come una somma tra il proprio valore atteso, detta anche componente anticipata, e lo scarto tra se stessa e il suo valore atteso, componente non anticipata. La prima componente è quella su cui si concentra l’attenzione del Criterio del Valore Atteso, ma questo criterio non tiene in conto la seconda, quella non anticipata, che racchiude l’incertezza, e quindi anche il rischio. Tornando brevemente all’Esempio 16, notiamo che il valore atteso della v.a. \(X\) è dato da \(\mathbb {E}[X]=633,\overline {3}\) euro. Quindi la componente non anticipata vale: \begin {equation*} X-\mathbb {E}[X]=\begin {cases} y_1 = 366,\overline {6} \ \text {euro} \ \ \ \ \ \text { con probabilità } \ p_1= 1/3 \\ y_2 = -33,\overline {3} \ \text {euro} \ \ \ \ \text { con probabilità } \ p_2=1/2 \\ y_3 = -633,\overline {3} \ \text {euro} \ \ \ \text { con probabilità } \ p_3 =1/6 \end {cases}. \end {equation*} In sintesi, un criterio più raffinato e più preciso di quello del Valore Atteso dovrà tenere in conto anche la componente rischiosa. E ovviamente, se il rendimento atteso va chiaramente massimizzato, il rischio atteso deve invece essere…minimizzato. Può essere interessante, per illustrare l’insufficienza del semplice Criterio del Valore Atteso, un classico paradosso, che fu esposto nel \(1738\) dal matematico Daniel Bernoulli, il Paradosso di San Pietroburgo anche detto, in modo fortemente descrittivo, la rovina del giocatore. Questo gioco illustra l’imperfezione del suddetto criterio, perchè all’epoca non era stata ancora data una rigorosa struttura alla Teoria della Probabilità, e di conseguenza il ’prezzo’ per partecipare a un gioco corrispondeva al valore atteso della vincita al gioco stesso. Come se oggi, in un certo senso, puntare \(1\) euro sull’uscita di un numero su \(90\) volesse dire aver diritto a una vincita di \(90\) euro (chiaramente impossibile).
Esempio 46. Consideriamo il seguente gioco \(G\): un individuo gioca a ’Testa o Croce’, con una moneta regolare, vale a dire a un gioco che ha \(1/2\) di probabilità di vittoria e \(1/2\) di probabilità di perdita ad ogni prova. Supponiamo che ad ogni tentativo, qualora il precedente tentativo sia stato fallimentare, si vinca sempre il doppio della possibile vincita precedente. In pratica:
- al primo tentativo si vincono \(2\) euro;
- se al primo tentativo si è perso, al secondo lancio di moneta si vincono \(4\) euro;
- se al secondo tentativo si è perso, al terzo lancio di moneta si vincono \(8\) euro;
e così via. In pratica il gioco si interrompe alla prima vittoria del giocatore. Ora, qual è il prezzo equo del biglietto per partecipare al gioco? Se esso deve coincidere con il valore atteso della lotteria \(G\), ricordando che le prove sono tutte indipendenti tra loro, la probabilità che la vittoria arrivi all’\(N\)-esima prova è data da \(\left (\dfrac {1}{2}\right )^N\). Ma allora il valore atteso risulterà uguale alla seguente sommatoria: \[\mathbb {E}[G]=2 \cdot \dfrac {1}{2}+4 \cdot \dfrac {1}{4}+\cdots =\sum _{k=1}^\infty 2^k \cdot \dfrac {1}{2^k}=+\infty .\] In altre parole, tendendo a \(+\infty \) il numero delle prove distinte, il valore atteso, e quindi il costo del biglietto, deve essere infinito.
Quindi, come in ogni paradosso, ci troviamo davanti a un’incosistenza logica. E fu qui Bernoulli ebbe una grande intuizione: invece di considerare esattamente il valore monetario della vincita, poteva avere più senso considerare un altro valore: l’utilità, o il beneficio, che il giocatore avrebbe assegnato alla vincita.
Ovviamente, questo beneficio doveva avere delle caratteristiche simili a quelle di una delle nostre funzioni di utilità (positivo, crescente nel numero delle prove, e così via). Usando una scala logaritmica, riferendoci alla \(k\)-esima prova, Bernoulli propose la quantità \(\log (2^k)\) anzichè l’importo della vincita \(2^k\). Quindi la sommatoria di cui sopra divenne: \[\mathbb {E}[G]=\sum _{k=1}^\infty \dfrac {\log (2^k)}{2^k}=\log 2 \sum _{k=1}^\infty \dfrac {k}{2^k}.\] Questa sommatoria è invece convergente, infatti: \[\sum _{k=1}^\infty \dfrac {k}{2^k}=\dfrac {1}{2}+\left (\dfrac {1}{4}+\dfrac {1}{4}\right )+\left (\dfrac {1}{8}+\dfrac {1}{8}+\dfrac {1}{8}\right )+\cdots =\] \[=\dfrac {1}{2}\left [1+1+\dfrac {3}{4}+\dfrac {4}{8}+\dfrac {5}{16}+\cdots \right ]=\dfrac {1}{2}\left [1+\sum _{k=1}^\infty \dfrac {k+1}{2^k}\right ]=\dfrac {1}{2}+\dfrac {1}{2}\sum _{k=1}^\infty \dfrac {k}{2^k}+\dfrac {1}{2}\sum _{k=1}^\infty \dfrac {1}{2^k},\] e ora, uguagliando membro a membro e ricordando il valore della serie geometrica \(\sum _{k=1}^\infty (1/2)^k=1\), si ha: \[\dfrac {1}{2}\sum _{k=1}^\infty \dfrac {k}{2^k}=\dfrac {1}{2}+\dfrac {1}{2}\sum _{k=1}^\infty \dfrac {1}{2^k} \qquad \Longleftrightarrow \qquad \sum _{k=1}^\infty \dfrac {k}{2^k}=1+1=2,\] da cui il valore atteso del gioco \(G\) con utilità logaritmica diventa \(\mathbb {E}[G]=2\log 2.\)
Tornando alla trattazione del rischio, la nostra attenzione ora si sposterà sull’identificazione di un operatore di ordinamento \(H(\cdot )\) che tenga in conto anche la componente rischiosa.
Bisogna dare una caratterizzazione dell’atteggiamento degli agenti nei confronti del rischio, per l’esattezza della propensione verso il rischio.
Definizione 47. Dato un operatore di ordinamento \(H(\cdot )\), l’individuo \(\mathcal {I}\) si dice avverso al rischio se per ogni v.a. \(X \in \mathcal {X}\) vale: \[H(X)< h(\mathbb {E}[X]).\]
In pratica, un individuo avverso al rischio assegna alla posizione rischiosa \(X\) un valore minore di quello che assegna alla corrispondente posizione certa \(\mathbb {E}[X]\). La Definizione 47 si può estendere: un individuo \(\mathcal {I}\) risulta propenso al rischio se per ogni v.a. \(X \in \mathcal {X}\) vale \(H(X)> h(\mathbb {E}[X])\), e infine si dice indifferente al rischio (in Inglese, risk-neutral) se \(H(X)=h(\mathbb {E}[X])\).
Va notato che se l’operatore di ordinamento scelto è il valore atteso, cioè \(H(X)=\mathbb {E}[X]\), quindi come \(h(x)=x\), di conseguenza \[H(X)=h(\mathbb {E}[X]),\] e in quel caso \(\mathcal {I}\) è indifferente al rischio.
Consideriamo ora la funzione \(h(x)=H(X)\), che come sappiamo, ammette un’inversa crescente. In caso di avversità dell’agente al rischio, si ha che \begin {equation*} \begin {cases} x^*=h^{-1}(H(X)) \\ H(X)<h(\mathbb {E}[X]) \end {cases} \qquad \Longrightarrow \qquad h^{-1}(H(X))<h^{-1}(h(\mathbb {E}[X]))=\mathbb {E}[X] \end {equation*} da cui \(x^*<\mathbb {E}[X]\). In particolare la differenza \(\lambda (X)=\mathbb {E}[X]-x^*\) tra le due quantità può essere denominata premio al rischio di indifferenza o premio di indifferenza, praticamente la quantità da togliere dalla posizione certa \(\mathbb {E}[X]\) per renderla indifferente alla posizione rischiosa \(X\)1. Inoltre, \(\lambda (X)\) è già una sorta di misura di rischiosità: dati \(2\) diversi individui, con \(2\) diversi operatori di ordinamento, quello che avrà un \(\lambda (X)\) maggiore sarà più avverso al rischio.
Una modalità molto usata per descrivere, e misurare l’avversione al rischio, consiste nell’introdurre una funzione di utilità adeguata, che si possa legare intuitivamente all’operatore di ordinamento. Il prossimo Capitolo è dedicato proprio alla transizione verso la Teoria dell’Utilità.
1In termini assicurativi, inoltre, \(\lambda (X)\) è il caricamento massimo che l’individuo assicurato \(\mathcal {I}\) è disposto a pagare affinchè nella sua polizza l’incertezza della sua posizione \(X\) sia eliminata.
Esercizi Proposti
1. Dato un operatore di ordinamento \(H:\mathcal {X} \longrightarrow \mathbb {R}\), date le \(2\) posizioni \(X_1\) e \(X_2\) tali che \(H(X_1) > H(X_2)\), dimostrare che se \(H\) è lineare, allora vale il seguente ordinamento di preferenza: \[X_1 \succ \dfrac {X_1 + X_2}{2} \succ X_2.\]
[Suggerimento: applicare la linearità a \(H(X_1 + X_2)\), imporre la disuguaglianza data, sia in un verso che nell’altro, infine dedurre l’ordine tra le posizioni.]
2. Consideriamo la seguente v.a. discreta \(X\) che indica il guadagno a fine anno di un individuo \(\mathcal {I}\): \begin {equation*} X=\begin {cases} x_1 = 100 \ \text {euro} \ \ \ \text { con probabilità } \ p_1 = 2/7 \\ x_2 = 300 \ \text {euro} \ \ \ \text { con probabilità } \ p_2 = 4/7 \\ x_3 = 500 \ \text {euro} \ \ \ \text { con probabilità } \ p_3 = 1/7 \end {cases}, \end {equation*} e la cui funzione di utilità è data da \(u(x)=\sqrt {x^2 + 1}\). Determinare l’equivalente certo \(x^*\). \([x^* = 271,479]\)
3. Consideriamo la seguente v.a. discreta \(X\) che indica il guadagno a fine anno di un individuo \(\mathcal {I}\): \begin {equation*} X=\begin {cases} x_1 = 1000 \ \text {euro} \ \ \ \ \text { con probabilità } \ p_1 = 2/9 \\ x_2 = \alpha \ \text {euro} \ \ \ \ \ \ \ \ \text { con probabilità } \ p_2 = 1/3 \\ x_3 = 6000 \ \text {euro} \ \ \ \ \ \text { con probabilità } \ p_3 = 4/9 \end {cases}, \end {equation*} e la cui funzione di utilità è data da \(u(x)=\sqrt {x} + 1\). Determinare il valore di \(\alpha \in \mathbb {R}\) tale che l’equivalente certo \(x^*\) sia uguale a \(5000\) euro.
\([\alpha = 7704,632]\)
4. L’individuo \(\mathcal {I}\) può scegliere se partecipare a una lotteria basata su \(2\) lanci successivi di un dado. Se \(\mathcal {I}\) non partecipa alla lotteria, mantiene il suo capitale iniziale \(C=1000\) euro. Altrimenti, ad ogni lancio vince se esce un numero compreso tra \(5\) e \(6\) (Vittoria), e perde invece del denaro se esce tra \(1\) e \(4\) (Sconfitta). Le posizioni \(C\), \(X_1\) e \(X_2\) sono descritte nella tabella seguente.
| Posizione | Vittoria | Sconfitta | Totale (con vittoria) | Totale (con sconfitta) |
| \(C\) | \(0\) | \(0\) | \(1000\) | \(1000\) |
| \(X_1\) | \(650\) | \(-300\) | \(1650\) | \(700\) |
| \(X_2\) | \(700\) | \(-700\) | \(1700\) | \(300\) |
Dato l’operatore di ordinamento ’media’ \(H(X) = \mathbb {E}[X]\), stabilire l’ordinamento di preferenza tra le posizioni. [\(X_1 \succ C \succ X_2\)]
5. L’individuo \(\mathcal {I}\) può scegliere se giocare o meno alla roulette (sul rosso, quindi con probabilità di vittoria \(18/37\), oppure sullo \(0\), probabilità di vittoria \(1/37\)). Se \(\mathcal {I}\) non gioca, mantiene il suo capitale iniziale \(C=5000\) euro. Altrimenti, al primo lancio vince (se esce il Rosso) oppure perde \(500\) euro, e al secondo lancio vince \(\alpha \) euro se esce lo \(0\), altrimenti perde \(4500\) euro. Le posizioni \(C\), \(X_1\) e \(X_2\) sono descritte nella tabella seguente.
| Posizione | Vittoria | Sconfitta | Totale (con vittoria) | Totale (con sconfitta) |
| \(C\) | \(0\) | \(0\) | \(5000\) | \(5000\) |
| \(X_1\) | \(500\) | \(-500\) | \(5500\) | \(4500\) |
| \(X_2\) | \(\alpha \) | \(-4500\) | \(5000 + \alpha \) | \(500\) |
Dato l’operatore di ordinamento ’media’ \(H(X) = \mathbb {E}[X]\), stabilire il valore minimo di \(\alpha \) affinchè \(X_2\) sia la posizione preferita. [\(\alpha = 162000\)]
6. L’individuo \(\mathcal {I}\) può scegliere se partecipare a una lotteria basata su \(2\) lanci successivi di una moneta da \(1\) euro con la testa di Wolfgang Amadeus Mozart su un lato. Se \(\mathcal {I}\) non partecipa alla lotteria, mantiene il suo capitale iniziale di \(C=3000\) euro. Altrimenti, ad ogni lancio vince se esce la testa di Mozart e perde invece del denaro se esce l’altra faccia. Le posizioni \(C\), \(X_1\) e \(X_2\) sono descritte nella tabella seguente.
| Posizione | Vittoria | Sconfitta | Totale (con vittoria) | Totale (con sconfitta) |
| \(C\) | \(0\) | \(0\) | \(3000\) | \(3000\) |
| \(X_1\) | \(1200\) | \(-1100\) | \(4200\) | \(1900\) |
| \(X_2\) | \(1600\) | \(-1500\) | \(4600\) | \(1500\) |
Dato l’operatore di ordinamento \[H(X)=\mathbb {E}[X]-\sqrt {\text {Var}(X)},\] stabilire l’ordinamento di preferenza tra le posizioni. [\(C \succ X_1 \succ X_2\)]
