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Cenni di Calcolo delle Probabilità
Cominciamo la trattazione con alcuni cenni preliminari di Calcolo delle Probabilità, i cui principi di base sono necessari per la comprensione e la descrizione delle situazioni finanziarie in caso di incertezza. La notazione utilizzata è quella standard che si può trovare in ogni libro. Quello che vi propongo è una sintesi di concetti, risultati e formule fondamentali, mentre per ogni approfondimento ulteriore (vettori aleatori, catene di Markov, ecc.) vi rimando a testi più completi, ad esempio [B].
Prima di tutto, cos’è un fenomeno incerto o aleatorio? Possiamo definirlo come un qualsiasi scenario che prevede più di un possibile esito o risultato. E questo esito, non abbiamo la quantità di informazioni, o la capacità, o la possibilità, di saperlo con certezza. L’esito di un lancio di un dado, i \(5\) numeri che usciranno alla prossima estrazione del Lotto sulla ruota di Bari, l’ordine di arrivo del Gran Premio d’Italia di Formula 1, i risultati del prossimo appello di Politiche Economiche Europee, il tasso di cambio del prossimo Venerdì tra Euro e Dollaro, sono esempi di situazioni incerte, cioè aleatorie.
La definizione e la costruzione di una teoria complessiva che descriva l’universo aleatorio richiede una formulazione matematica rigorosa. Per dare vita a questa struttura, abbiamo bisogno di alcune definizioni iniziali, che fornirò in forma semplificata. Chiamiamo:
- \(\Omega \) un insieme di stati di natura;
- evento un qualsiasi sottoinsieme di \(\Omega \) (anche l’insieme vuoto \(\emptyset \)).
Gli eventi sono tipicamente indicati con le lettere maiuscole, come gli insiemi, e con la \(E\). Una volta stabilite queste primissime definizioni, possiamo andare a considerare degli ulteriori tipi di eventi.
Definizione 1. Dati 2 qualsiasi eventi \(E_1, \ E_2\), chiameremo:
- \(E_1 \cup E_2\) evento unione, corrispondente al verificarsi di almeno uno tra gli eventi \(E_1\) ed \(E_2\);
- \(E_1 \cap E_2\) evento intersezione, corrispondente al verificarsi di entrambi gli eventi \(E_1\) ed \(E_2\);
- \(E_1^C\) evento complementare, corrispondente al non verificarsi dell’evento \(E_1\).
Il nostro scopo è quello di associare ad ogni evento una funzione probabilità che ne quantifichi, appunto, la probabilità che esso avvenga.
Definizione 2. Dato un insieme \(\Omega \), e l’insieme di tutti i suoi possibili eventi \(\mathcal {E}\), un’applicazione \(P: \mathcal {E} \longrightarrow [0,1]\) si dice probabilità se:
- \(P(\Omega )=1\);
- per ogni successione \(\{E_n\}_n\) di elementi di \(\mathcal {E}\) disgiunti a due a due, vale: \begin {equation*} P \left (\bigcup _{n=1}^\infty E_n \right )=\sum _{n=1}^\infty P(E_n). \end {equation*}
Fondamentalmente, la più intuitiva formula per calcolare una probabilità è la seguente1:
\(P\)(un determinato evento \(E\)) = \(\dfrac {\text {numero dei casi in cui $E$ si verifica}}{\text {numero di tutti i casi possibili}}.\)
Vediamo un piccolo esempio elementare per chiarire le idee.
Esempio 3. Consideriamo un insieme numerico di stati di natura costituito dai numeri naturali dall’\(1\) al \(9\), quindi: \[\Omega = \left \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\right \}.\] Ora, basandoci sulla struttura di \(\Omega \), possiamo definire alcuni eventi e calcolarne in modo semplice la probabilità. Ad esempio: \[E_d =\left \{\text {Scegliendo a caso un numero in $\Omega $, quel numero è dispari}\right \}.\] \[E_p =\left \{\text {Scegliendo a caso un numero in $\Omega $, quel numero è primo}\right \}.\] \[E_4 =\left \{\text {Scegliendo a caso un numero in $\Omega $, quel numero è divisibile per $4$}\right \}.\] Calcoliamo le rispettive probabilità: \[P(E_d) = \dfrac {\text {quantità di numeri dispari in $\Omega $}}{\text {quantità di tutti gli elementi di $\Omega $}} = \dfrac {5}{9} = 0,555.\] \[P(E_p) = \dfrac {\text {quantità di numeri primi in $\Omega $}}{\text {quantità di tutti gli elementi di $\Omega $}} = \dfrac {4}{9} = 0,444.\] \[P(E_4) = \dfrac {\text {quantità di numeri divisibili per $4$ in $\Omega $}}{\text {quantità di tutti gli elementi di $\Omega $}} = \dfrac {2}{9} = 0,222.\] Possiamo esprimere le probabilità o come frazioni oppure come numeri decimali tra \(0\) e \(1\), eventualmente approssimati alla cifra che vogliamo (qui alla terza). Oltre a questi eventi, come visto in precedenza, possiamo costruirne degli altri con unioni, intersezioni e complementari, ad esempio: \[E_d \cap E_p = \left \{\text {Scegliendo a caso un numero in $\Omega $, quel numero è sia dispari che primo}\right \}.\] In questo caso,la probabilità è: \[P(E_d) = \dfrac {\text {quantità di numeri dispari e primi in $\Omega $}}{\text {quantità di tutti gli elementi di $\Omega $}} = \dfrac {3}{9} = 0,333.\] Oppure: \[E^C_4 = \left \{\text {Scegliendo a caso un numero in $\Omega $, quel numero non è divisibile per $4$}\right \},\] e in questo caso la probabilità risulta: \[P(E^C_4) = 1 – P(E_4) = 1 – \dfrac {2}{9} = \dfrac {7}{9} = 0,777.\] E naturalmente, si può generare anche l’evento ’insieme vuoto’, ad esempio non ci sono numeri sia primi che divisibili per \(4\), quindi l’evento \(E_p \cap E_4 = \emptyset \), e ovviamente \(P(\emptyset ) = \dfrac {0}{9} = 0.\)
In generale, per ogni fenomeno aleatorio si può costruire, in modo a volte oggettivo a volte soggettivo, uno spazio di probabilità. L’esempio precedente presenta delle probabilità oggettive, come anche tutti quelli che riguardano giochi come i dadi, le carte, il Lotto, la roulette, ecc.
Ma ad esempio, nel caso di un evento calcistico, differenti persone potranno associare differenti probabilità alla vittoria di una squadra o dell’altra oppure al pareggio.
Ora, ricordiamo alcune formule essenziali nel calcolo delle probabilità, ricordando che due eventi \(E_1\) ed \(E_2\) si dicono incompatibili se non si possono verificare entrambi (come \(E_p\) ed \(E_4\) nell’esempio precedente). In generale, se \(E_1\) ed \(E_2\) sono eventi incompatibili, come da definizione: \[P(E_1 \cup E_2)=P(E_1)+P(E_2), \qquad \qquad \qquad \qquad P(E_1 \cap E_2)=P(\emptyset )=0.\] Inoltre, dato un qualsiasi evento \(E\): \begin {equation} P(E^C)=1-P(E). \label {complementare} \end {equation}
La seguente formula, invece, si applica a qualsiasi coppia di eventi, anche non disgiunti, e lega tra loro le probabilità dei singoli eventi con le probabilità degli eventi unione e intersezione. Dati 2 eventi \(E_1, \ E_2\):
\begin {equation} P(E_1) + P(E_2) = P(E_1 \cup E_2) + P(E_1 \cap E_2). \label {unioneintersezione} \end {equation}
Dalla relazione (2.1.2) segue immediatamente anche la formula sulle probabilità complementari:
\begin {equation} P(E_1^C) + P(E_2^C) = 2 – P(E_1 \cup E_2) – P(E_1 \cap E_2). \label {unioneintersezionecomplementari} \end {equation}
Nel seguente Esercizio, applichiamo la formula (2.1.2) a un problema di probabilità sulle carte da gioco.
Esercizio 4. Supponiamo di estrarre casualmente una carta da un mazzo di 40 carte napoletane e di voler calcolare la probabilità che la carta uscita non sia né un asso né una carta del seme dei Denari (detti anche Ori).
Gli eventi da considerare saranno:
\(E_1\)={la carta estratta è un asso}, la cui probabilità è \(P(E_1)=\dfrac {1}{10};\)
\(E_2\)={la carta estratta è un Denaro}, la cui probabilità è \(P(E_2)=\dfrac {1}{4};\)
\(E_1 \cap E_2\)={la carta estratta è l’asso di Denari}, la cui probabilità è \(P(E_1 \cap E_2)=\dfrac {1}{40}.\) La probabilità dell’evento unione, ossia che la carta estratta sia o un qualsiasi asso oppure un qualsiasi Denaro è data dalla formula (2.1.2): \[P(E_1 \cup E_2)=P(E_1)+P(E_2)-P(E_1 \cap E_2)=\dfrac {1}{10}+\dfrac {1}{4}-\dfrac {1}{40}=\dfrac {13}{40}.\] Per concludere, la probabilità che la carta estratta non sia né un asso né un Denaro è l’evento complementare a \(E_1 \cup E_2\), quindi applicando (2.1.1): \[P((E_1 \cup E_2)^C)=1-P(E_1 \cup E_2)=\dfrac {27}{40}.\] Allo stesso risultato, ovviamente, si poteva arrivare sommando le 9 Spade ai 9 Bastoni alle 9 Coppe, vale a dire tutte le carte degli altri semi private dei rispettivi assi.
Un concetto di grande importanza, che emerge in molte applicazioni, sia in Finanza che nella Matematica Attuariale, è quello della probabilità condizionata.
In pratica, si tratta di dare una formulazione alle probabilità degli eventi quando abbiamo un’informazione a priori. Condizionare, o subordinare, la probabilità di un evento al verificarsi di un altro evento non implica necessariamente definire un evento condizionato, ma semplicemente raffinare la definizione dello stesso evento.
Definizione 5. Dati 2 eventi \(E_1\), \(E_2\) con \(P(E_2)>0\), si dice probabilità condizionata (o condizionale o subordinata) di \(E_1\) rispetto ad \(E_2\) il seguente valore: \begin {equation} P(E_1 \ | \ E_2)=\dfrac {P(E_1 \cap E_2)}{P(E_2)}. \label {condizionata} \end {equation}
\(P(E_1 \ | \ E_2)\) rappresenta la probabilità che si verifichi \(E_1\) data l’informazione che \(E_2\) si è, contemporaneamente o in precedenza, verificato. Dalla Definizione, possiamo dedurre facilmente quella che é universalmente nota come formula di Bayes: \[P(E_1 \ | \ E_2) P(E_2)=P(E_2 \ | \ E_1) P(E_1).\] Un ulteriore concetto cruciale nel Calcolo delle Probabilità, che sarà sviluppato in seguito nei modelli di portafoglio, riguarda l’analisi degli eventi e della loro correlazione, ossia di quanto uno di essi dipenda da un altro, o da tutti gli altri. Quando \(2\) eventi non hanno alcuna forma di correlazione, le cose sono particolarmente semplici.
Definizione 6. 2 eventi \(E_1\) ed \(E_2\) si dicono indipendenti se e solo se \[P(E_1 \cap E_2)=P(E_1)P(E_2).\]
La Definizione precedente si può estendere automaticamente a \(N > 2\) eventi.
Definizione 7. \(N\) eventi \(E_1, \ldots E_N\) si dicono a due a due indipendenti se e solo se \[P(E_i \cap E_j)=P(E_i)P(E_j),\] \(\forall \ i \neq j, \ i, \ j=1, \ldots , N\).
Per sgomberare il campo da un classico (e pericoloso) luogo comune, ogni fenomeno aleatorio che si ripete con le stesse condizioni più di una volta, è un evento indipendente dal precedente, come il lancio ripetuto di una moneta, le estrazioni del Lotto, i sorteggi di qualsiasi tipo con rimpiazzo o reimbussolamento, la generazione di numeri casuali, ecc. Per questo motivo, ad esempio, è piuttosto insensato giocare al Lotto basandosi sui ritardi dei numeri, in quanto ad ogni estrazione, sempre se non truccata, l’evento è assolutamente indipendente dal precedente, e quindi le probabilità sono esattamente le stesse.
Cosa accade alla probabilità condizionata nel caso di indipendenza tra eventi? L’effetto risulta chiaro: se \(E_1\) ed \(E_2\) sono indipendenti, il fatto che \(E_2\) si verifichi non condiziona in alcun modo il verificarsi di \(E_1\) e infatti, usando la formula (2.1.4) e la definizione precedente, sempre se \(P(E_2)>0\), abbiamo: \[P(E_1 \ | \ E_2)=\dfrac {P(E_1 \cap E_2)}{P(E_2)}=\dfrac {P(E_1)P(E_2)}{P(E_2)}=P(E_1),\] ossia il vincolo di condizionamento di un evento ad un altro evento indipendente ne lascia uguale la probabilità.
Un gioco in cui è abbastanza naturale assistere a eventi indipendenti è la roulette (non quella russa), perchè ogni lancio di pallina è un evento indipendente dal precedente, equivalente a un’estrazione da un’urna con reimbussolamento, cioè con il ritorno alle condizioni iniziali dopo la prima estrazione.
Esempio 8. Consideriamo il gioco della roulette, in cui una pallina viene lanciata e, dopo aver girato su una ruota nella cui circonferenza ci sono delle caselle numerate da \(0\) a \(36\), cade in una di quelle caselle. Supponiamo di fare \(3\) lanci di pallina, che corrispondono evidentemente a \(3\) eventi tra loro indipendenti, e costruiamo lo spazio di probabilità dell’uscita del numero \(0\) (è una scelta come un’altra, perché i numeri sono tutti equiprobabili). Abbiamo \(4\) possibili eventi:
\(E_0\)={lo \(0\) non esce in nessun lancio};
\(E_1\)={lo \(0\) esce in uno solo dei \(3\) lanci};
\(E_2\)={lo \(0\) esce in \(2\) dei \(3\) lanci};
\(E_3\)={lo \(0\) esce in tutti e \(3\) i lanci}.
Calcoliamo le rispettive probabilità: \[P(E_0)= \dfrac {36}{37}\cdot \dfrac {36}{37} \cdot \dfrac {36}{37}=\left (\dfrac {36}{37}\right )^3.\] \[P(E_1)=\dfrac {1}{37}\cdot \dfrac {36}{37}\cdot \dfrac {36}{37}+\dfrac {36}{37}\cdot \dfrac {1}{37}\cdot \dfrac {36}{37}+ \dfrac {36}{37}\cdot \dfrac {36}{37} \cdot \dfrac {1}{37}=\dfrac {3 \cdot 36^2}{37^3}.\] \[P(E_2)=\dfrac {1}{37}\cdot \dfrac {1}{37}\cdot \dfrac {36}{37}+\dfrac {36}{37}\cdot \dfrac {1}{37}\cdot \dfrac {1}{37}+ \dfrac {1}{37}\cdot \dfrac {36}{37} \cdot \dfrac {1}{37}=\dfrac {108}{37^3}.\] \[P(E_3)=\dfrac {1}{37}\cdot \dfrac {1}{37}\cdot \dfrac {1}{37}=\dfrac {1}{37^3}.\] Analizzando brevemente queste probabilità, la cosa interessante da notare sta nel fatto che, pur essendo ogni lancio indipendente da tutte le altre, e quindi ad ogni giocata la probabilità di successo è sempre \(1/37\), la probabilità che un determinato numero non esca mai ad alcuna lancio diminuisce al passare dei lanci. Se nel nostro caso, al terzo tentativo, \(P(E_0) \simeq 0,921\), continuando a lanciare, al 15esimo tentativo, tale probabilità diventerebbe circa \(0,663\) e dopo soli \(100\) lanci scenderebbe già intorno allo \(0,064\), e una probabilità circa del \(6\%\) è da considerare molto bassa.
Nei modelli come quello descritto nell’esempio precedente, si utilizza sempre lo Schema di Bernoulli (o Schema successo-insuccesso), che quantifica la probabilità di \(K\) successi su \(N\) prove, e che è una nota distribuzione discreta di probabilità. La formula di Bernoulli tiene anche conto delle varie combinazioni, come quelle che vediamo nei calcoli di \(P(E_1)\) e \(P(E_2)\), in cui abbiamo tenuto conto dei \(3\) diversi casi, tra loro incompatibili, di uscita dello \(0\) (ad esempio, nel caso di \(E_1\), le uscite al primo, secondo o terzo tentativo vanno tutte tenute in conto).
In sintesi, dato una sequenza di \(N\) prove ripetute in modo indipendente, e data \(p>0\) la probabilità di successo sulla singola prova, la probabilità \(\mathcal {P}\) che ci siano \(K\) successi su \(N\) prove è la seguente: \begin {equation} \mathcal {P}=\left (\begin {array}{c} N \\ K \end {array} \right ) p^K (1-p)^{N-K}, \label {Bernoulli} \end {equation} dove
\[\left (\begin {array}{c} N \\ K \end {array} \right )=\begin {cases} \dfrac {N!}{K!(N-K)!} \ \ \ \text { se } N \geq K, \\ \\ 0 \qquad \qquad \qquad \text { se } N<K \end {cases}\] é il coefficiente binomiale \(N\) su \(K\), e il simbolo \(!\) indica il fattoriale: \[s!=1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot s,\] per ogni \(s \in \mathbb {N}\), e con la notazione \(0!=1\).
Tornando all’esempio della roulette, essendo la probabilità dell’uscita dello \(0\) nel singolo lancio \(p=1/37\), la probabilità di ottenere \(2\) successi su \(3\) lanci, vale a dire la probabilità dell’evento \(E_2\), si puó calcolare con la (2.1.5): \[\left (\begin {array}{c} 3 \\ 2 \end {array} \right )\left ( \dfrac {1}{37}\right )^2 \cdot \left (\dfrac {36}{37}\right )^{3-2}=\dfrac {1 \cdot 2 \cdot 3}{1 \cdot 2 \cdot 1}\cdot \dfrac {1}{37^2} \cdot \dfrac {36}{37}=\dfrac {108}{37^3}.\] L’introduzione dello schema di Bernoulli ci conduce all’introduzione della nozione fondamentale per il nostro corso: la variabile aleatoria.
1Altre notazioni molto utilizzate per indicare la probabilità che un evento \(E\) si verifichi, oltre a \(P(E)\), sono anche \(P\{E\}\), \(Pr\{E\}\) oppure \(Prob\{E\}\).
Variabili Aleatorie Discrete e Continue
In generale, nei problemi che coinvolgono fenomeni non deterministici vengono considerate delle variabili che sono funzioni del risultato di un evento aleatorio. Torniamo ad appoggiarci alla struttura di Probabilità definita inizialmente.
Definizione 9. Dato uninsieme di stati di natura \(\Omega \), e la probabilità \(P\) ad esso associata, si dice variabile aleatoria (o variabile casuale), spesso abbreviata in v.a., una funzione \(X: \Omega \longrightarrow \mathbb {R}\) tale che l’insieme \(\{\omega \ | \ X(\omega ) \leq t \}\) sia un sottoinsieme di \(\Omega \), e quindi un evento, per ogni \(t \in \mathbb {R}\).
Una v.a., solitamente indicata con una lettera maiuscola come \(X\) o \(Y\), è dunque una funzione, definita su tutto l’insieme dei possibili risultati, tale che si possa calcolare la probabilità che essa prenda valori più piccoli di un qualsiasi numero reale \(t\), compreso \(+\infty \).
In questa maniera, stiamo fornendo una formulazione rigorosa di una funzione che associa dei valori numerici a dei fenomeni aleatori. Ci sono v.a. discrete e v.a. continue, e che i concetti che caratterizzano sia le une che le altre (distribuzione, valore atteso, varianza, ecc.), pur differenziandosi nelle formule, sono gli stessi.
Consideriamo delle v.a. \(X\) che prendano al più un’infinità numerabile di valori \(x_1, \ldots , x_n, \ldots \), e semplifichiamo la notazione precedente omettendo l’argomento di ogni v.a., cioè descriviamo come eventi gli insiemi \(\{X=x_i\}\), per ogni \(i\). Dunque, possiamo scrivere, per ogni \(t\) reale, l’insieme della definizione precedente come unione al più numerabile di eventi: \begin {equation*} \{X \leq t\}=\bigcup _{x_i \leq t} \{X=x_i\}. \end {equation*} Va notato che tutti gli eventi \(\{X=x_i\}\) sono a due a due disgiunti. Di conseguenza, per \(t=+\infty \) l’unione degli eventi coincide con tutto \(\Omega \).
Il prossimo step è cruciale, e consiste nel definire la densità di una v.a.:
Definizione 10. Data una v.a. discreta \(X\), la funzione \(p: \mathbb {R} \longrightarrow [0,1]\) tale che \(p(x):=P(\{X=x\})\) è una densità o distribuzione di probabilità se valgono le seguenti proprietà:
- \(p(x)=0\) tranne al più in un’infinità numerabile di valori;
- \[\sum _{x \in \mathbb {R}} p(x)=1.\]
Esempio 11. Definiamo una semplice v.a. discreta \(X\) che può prendere \(4\) diversi valori con \(4\) diverse probabilità: \begin {equation*} X = \begin {cases} x_1 = 3, \qquad \qquad P(\{X = 3\}) = p_1 = 1/5; \\ \\ x_2 = 1, \qquad \qquad P(\{X = 1\}) = p_2 = 3/10; \\ \\ x_3 = 0, \qquad \qquad P(\{X = 0\}) = p_3 = 1/8; \\ \\ x_4 = -2, \qquad \ \ \ \ P(\{X = -2\}) = p_4 = 3/8. \end {cases} \end {equation*} Notare che la densità di probabilità rispetta le \(2\) condizioni della Definizione di cui sopra, in quanto non è mai uguale a \(0\) (quindi lo è tranne in \(4\) casi), e inoltre: \[\dfrac {1}{5} + \dfrac {3}{10} + \dfrac {1}{8} + \dfrac {3}{8} = \dfrac {8 + 12 + 5 + 15}{40} = \dfrac {40}{40} = 1.\]
Richiamiamo ora l’esempio della roulette e costruiamo, grazie allo Schema di Bernoulli, una densità discreta.
Esempio 12. Supponiamo di lanciare un dado a \(6\) facce non truccato \(5\) volte e calcoliamo la probabilità che nei \(5\) lanci il numero \(6\) esca almeno \(3\) volte.
Costruiamo la v.a. \(X\) che conta quante volte esce il numero \(6\), cioè
\(\{X\) = numero di volte che esce il \(6\) su \(5\) lanci}. La distribuzione relativa \(P(\cdot )\) verrà da uno schema del tipo (2.1.5 ): \begin {equation*} P(\{X=K\})=\left (\begin {array}{c} 5 \\ K \end {array} \right ) \left (\dfrac {1}{6}\right )^K \left (\dfrac {5}{6}\right )^{5-K}. \end {equation*} Notare che gli unici valori che la v.a. \(X\) può prendere sono quelli relativi ai successi, cioè al numero di lanci il cui esito è \(6\), vale a dire \(0\), \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\).
Per calcolare la probabilità richiesta, la procedura più semplice consiste nel passare per la sua complementare, vale a dire prima calcolare la probabilità che il \(6\) esca al più \(2\) volte e poi sottrarla da \(1\). Si ha: \begin {equation*} P(\{X \leq 2\})=\sum _{J=0}^2 \left (\begin {array}{c} 5 \\ J \end {array} \right ) \left (\dfrac {1}{6}\right )^J \left (\dfrac {5}{6}\right )^{5-J}= \left (\dfrac {5}{6}\right )^5+5\left (\dfrac {1}{6}\right )\left (\dfrac {5}{6}\right )^4+ \end {equation*} \begin {equation*} +10\left (\dfrac {1}{6}\right )^2\left (\dfrac {5}{6}\right )^3=\dfrac {5^5+5 \cdot 5^4+10 \cdot 5^3}{6^5}=\dfrac {2 \cdot 5^4} {6^4}. \end {equation*} Passando alla complementare, infine: \begin {equation*} P(\{X \geq 3\})=1-P(\{X \leq 2\}=\dfrac {6^4-2 \cdot 5^4}{6^4} \simeq 0,035493. \end {equation*}
La distribuzione di Bernoulli descritta in questo caso è anche detta legge binomiale di parametri \(N\) (nel nostro caso, \(5\)) e \(p\) (nel nostro caso, \(1/6\)) e si indica con la scrittura \(B(N,p)\). Alla distribuzione di probabilità, anche nel caso continuo per la verità, è naturalmente legato anche il prossimo concetto:
Definizione 13. Data una v.a. discreta \(X\), si chiama funzione di ripartizione la funzione \(F_X:\mathbb {R} \longrightarrow [0,1]\) tale che: \[F_X(t)=P( \{X \leq t \})=\sum _{x \leq t} p(x).\]
Quindi, conoscere la distribuzione di probabilità di una v.a. equivale in pratica a conoscerne la sua funzione di ripartizione. Alcune proprietà elementari della funzione di ripartizione sono:
- \begin {equation*} \lim _{t \rightarrow -\infty } F_X(t)=0; \end {equation*}
- \begin {equation*} \lim _{t \rightarrow +\infty } F_X(t)=1; \end {equation*}
- \(F_X(t)\) è non-decrescente su tutto \(\mathbb {R}\).
Definizione 14. Data una v.a. discreta \(X\), con distribuzione \(p(\cdot )\), chiamiamo media (o valore atteso o valor medio o speranza matematica) di \(X\) il numero: \begin {equation} \mathbb {E}[X]=\sum _{i} x_i p(x_i)=\sum _{i}x_i P(\{X=x_i\}). \label {media} \end {equation}
Applicando (2.2.1) alla variabile \(X\) dell’Esempio 11, la media risulta: \[\mathbb {E}[X] = 3 \cdot \dfrac {1}{5} + 1 \cdot \dfrac {3}{10} + 0 \cdot \dfrac {1}{8} + (-2) \cdot \dfrac {3}{8} = \dfrac {24 + 12 – 30}{40} = \dfrac {6}{40} = 0,15.\] La formula (2.2.1), in cui la sommatoria viene ovviamente calcolata su tutti i valori \(x_i\) presi dalla v.a. \(X\), definisce effettivamente la media della v.a. quando la serie è convergente, cioè ha come somma un numero finito. Un’ipotesi che tipicamente viene posta prima della definizioneè che tale sommatoria converga assolutamente, vale a dire \(\sum _i |x_i| p(x_i)<+\infty \).
Enunciamo anche due importanti proprietà della media (la dimostrazione si può trovare su [B], pag. \(46\)):
Proposizione 15. Se \(X\) e \(Y\) sono due v.a. con media finita, allora:
- anche la v.a. somma \(X+Y\) ha media finita e inoltre: \[\mathbb {E}[X+Y]=\mathbb {E}[X]+\mathbb {E}[Y];\]
- per qualsiasi \(k \in \mathbb {R}\) anche la v.a. \(kX\) ha media finita e inoltre: \[\mathbb {E}[kX]=k\mathbb {E}[X].\]
Di seguito, vediamo un semplice Esempio di costruzione di una v.a. somma e verifichiamo la linearità della media.
Esempio 16. Date le seguenti v.a.: \begin {equation*} X = \begin {cases} x_1 = 100, \qquad \qquad P(\{X = 100\}) = p_1 = 1/2 \\ \\ x_2 = 200, \qquad \qquad P(\{X = 200\}) = p_2 = 1/2 \\ \end {cases}, \end {equation*} \begin {equation*} Y = \begin {cases} y_1 = 50, \qquad \qquad P(\{Y = 50\}) = q_1 = 3/5 \\ \\ y_2 = 70, \qquad \qquad P(\{Y = 70\}) = q_2 = 2/5 \\ \end {cases}, \end {equation*} costruiamo la v.a. \(X + Y\) e verifichiamo che \(\mathbb {E}[X+Y]=\mathbb {E}[X]+\mathbb {E}[Y].\)
\(X + Y\) è costruita considerando tutti i possibili casi di somme tra una determinazione di \(X\) ed una di \(Y\), con le probabilità che sono i prodotti delle singole probabilità, vale a dire: \begin {equation*} X + Y = \begin {cases} x_1 + y_1 = 150, \qquad \qquad P(\{X + Y = 150\}) = p_1 q_1 = 3/10 \\ \\ x_1 + y_2 = 170, \qquad \qquad P(\{X + Y = 170\}) = p_1 q_2 = 1/5 \\ \\ x_2 + y_1 = 250, \qquad \qquad P(\{X + Y = 250\}) = p_2 q_1 = 3/10 \\ \\ x_2 + y_2 = 270, \qquad \qquad P(\{X + Y = 270\}) = p_2 q_2 = 1/5 \end {cases}. \end {equation*} Notiamo facilmente che \(\mathbb {E}[X] = 150\), \(\mathbb {E}[Y] = 58,\) e anche che \[\mathbb {E}[X + Y] = 150 \cdot \dfrac {3}{10} + 170 \cdot \dfrac {1}{5} + 250 \cdot \dfrac {3}{10} + 270 \dfrac {1}{5} = 45 + 34 + 75 + 54 = 208 = \mathbb {E}[X] + \mathbb {E}[Y].\]
La media è tra gli strumenti matematici più noti ed usati anche nel linguaggio comune, a tutti i livelli. In un certo senso, anche quando alle Scuole Superiori calcoliamo la media aritmetica degli \(N\) voti di un quadrimestre, non facciamo altro che considerare inconsciamente una distribuzione di probabilità in cui ogni voto incide per un \(N\)-esimo, cioè stiamo calcolando la media di una v.a. che ha come determinazioni i singoli voti, ognuno dei quali occorre con probabilità \(1/N\). Quando le probabilità sono diverse da \(1/N\), la media che calcoliamo nel linguaggio comune è detta pesata o ponderata.
Il secondo concetto fondamentale per le v.a. è quello di varianza, che rappresenta una misura della dispersione della v.a. \(X\) attorno al suo valor medio, ossia è tanto più grande quanto più i valori presi da \(X\) sono lontani dalla sua media.
Definizione 17. Data una v.a. discreta \(X\), con media finita, si chiama varianza di \(X\) (o momento centrato del secondo ordine di \(X\)) il numero: \begin {equation} \label {varianzastandard} \text {Var}(X)=\mathbb {E}[(X-\mathbb {E}[X])^2]. \end {equation} Inoltre, si chiama deviazione standard di \(X\) la radice quadrata della sua varianza: \[\sigma _X=\sqrt {\text {Var}(X)}.\]
La definizione di deviazione standard è ben posta in quanto la varianza di una v.a. è sempre non negativa. Nel seguente esempio, calcoleremo media, varianza e deviazione standard di una v.a. discreta.
Esercizio 18. Consideriamo un’azione il cui valore iniziale è \(300\) euro, e che dopo un anno segue questo andamento: o aumenta del \(20\%\) con probabilità \(1/5\), o aumenta del \(10\%\) con probabilità \(3/10\), o diminuisce del \(10\%\) con probabilità \(1/2\). Calcolare la media della v.a. \(X\) che indica il valore dell’azione tra un anno, la sua varianza e la sua deviazione standard.
Per cominciare, scriviamo in forma estesa la v.a. \(X\), omettendo che si tratta di cifre in euro: \begin {equation*} X = \begin {cases} x_1 = 300 + 300 \cdot 0,2 = 360, \qquad \qquad p_1 = 1/5 \\ \\ x_2 = 300 + 300 \cdot 0,1 = 330, \qquad \qquad p_2 = 3/10 \\ \\ x_3 = 300 – 300 \cdot 0,1 = 270, \qquad \qquad p_3 = 1/2 \end {cases}. \end {equation*} Il valor medio di \(X\) è immediatamente calcolabile: \[\mathbb {E}[X] = 360 \cdot \dfrac {1}{5} + 330 \cdot \dfrac {3}{10} + 270 \cdot \dfrac {1}{2} = 72 + 99 + 135 = 306,\] quindi \(306 – 300 = 6\) si può interpretare come il guadagno medio dall’azione dopo un anno. Per calcolare invece la varianza di \(X\), prima scriviamo la v.a. \((X – \mathbb {E}[X])^2\) per esteso: \begin {equation*} (X – \mathbb {E}[X])^2 = \begin {cases} x_1 = (360 – 306)^2 = 54^2 = 2916, \qquad \qquad p_1 = 1/5 \\ \\ x_2 = (330 – 306)^2 = 24^2 = 576, \qquad \qquad \ p_2 = 3/10 \\ \\ x_3 = (270 – 306)^2 = (- 36)^2 = 1296, \qquad \ \ p_3 = 1/2 \end {cases}. \end {equation*} Di conseguenza, applicando (2.2.2) otteniamo: \[\text {Var}(X) = 2916 \cdot \dfrac {1}{5} + 576 \cdot \dfrac {3}{10} + 1296 \cdot \dfrac {1}{2} = 583,2 + 172,8 + 648 = 1404.\] Infine la deviazione standard di \(X\), che approssimiamo alla terza cifra decimale: \[\sigma _X = \sqrt {\text {Var}(X)} = \sqrt {1404} = 37,47.\]
Grazie alle proprietà della media, possiamo ricavare un’interessante ed utile formula alternativa per il calcolo della varianza, in realtà quella più comunemente usata: \[\mathbb {E}[(X-\mathbb {E}[X])^2]=\mathbb {E}[X^2-2X\mathbb {E}[X]+(\mathbb {E}[X])^2]=\mathbb {E}[X^2]-2\mathbb {E}[X]\mathbb {E}[X]+(\mathbb {E}[X])^2,\] e sommando gli ultimi \(2\) termini otteniamo: \begin {equation} \text {Var}(X)=\mathbb {E}[X^2]-(\mathbb {E}[X])^2. \label {altravarianza} \end {equation} Torniamo brevemente all’esempio precedente e calcoliamone la varianza con la (2.2.3), tenendo presente che la v.a. \(X^2\) ha come determinazioni le \(x_j^2\) con rispettive probabilità \(p_j\), quindi: \begin {equation*} X^2 = \begin {cases} x_1^2 = 360^2 = 129600, \qquad \qquad p_1 = 1/5 \\ \\ x_2^2 = 330^2 = 108900, \qquad \qquad p_2 = 3/10 \\ \\ x_3^2 = 270^2 = 72900, \qquad \qquad p_3 = 1/2 \end {cases}. \end {equation*} Avremo: \begin {equation*} \text {Var}(X)= 129600 \cdot \dfrac {1}{5} + 108900 \cdot \dfrac {3}{10} + 72900 \cdot \dfrac {1}{2} – 306^2 = \end {equation*} \begin {equation*} = 25920 + 32670 + 36450 – 93636 = 1404. \end {equation*} Accenniamo ora ad un’altra importante distribuzione, che è tra l’altro utilizzata per approssimare la binomiale e che trova spazio in molti modelli probabilistici, in particolare quelli in cui si ha un grandissimo numero di prove indipendenti e una probabilità di successo piccolissima, vale a dire la distribuzione di Poisson di parametro \(\lambda >0\): \[P(\{X=K\})=\dfrac {\lambda ^K}{K} e^{-\lambda }.\] Da notare che il fattore \(e^{-\lambda }\) è normalizzante, nel senso che serve a verificare la proprietà \(2\)) della definizione di distribuzione, infatti per il noto sviluppo in serie della funzione esponenziale, valido per ogni esponente positivo, si ha: \begin {equation*} e^\lambda =\sum _{K=0}^\infty \dfrac {\lambda ^K}{K!} \ \Longrightarrow \ P(\{X \leq +\infty \})=\sum _{K=0}^\infty \dfrac {\lambda ^K}{K!}e^{-\lambda }=1. \end {equation*} Possiamo infine notare che il parametro \(\lambda \) risulta coincidere sia con il valor medio sia con la varianza di una v.a. distribuita secondo Poisson (quindi al crescere della sua media ne cresce anche la dispersione): \[\mathbb {E}[X] = \text {Var}(X) = \lambda .\]
Come abbiamo visto in precedenza, il calcolo della media di una v.a. somma di due v.a. è immediato, quando esse hanno entrambe media finita, per una semplice proprietà di linearità. Ben maggiori sono le complicazioni che dobbiamo affrontare per il calcolo della varianza di una somma di v.a. del tipo \(X+Y\); proviamo a seguire una strada standard: \[\mathbb {E} \left [(X+Y-\mathbb {E}[X+Y])^2 \right ]=\mathbb {E} \left [((X-\mathbb {E}[X])+(Y-\mathbb {E}[Y]))^2 \right ]=\] \[=\mathbb {E} \left [(X-\mathbb {E}[X])^2 \right ]+\mathbb {E} \left [(Y-\mathbb {E}[Y])^2 \right ]+2 \mathbb {E}[(X-\mathbb {E}[X])(Y-\mathbb {E}[Y])],\] e nell’ultima espressione compaiono come addendi la varianza di \(X\), quella di \(Y\), e infine un nuovo termine che inevitabilmente dipende da entrambe le variabili.
Definizione 19. Date \(2\) v.a. \(X\) e \(Y\), si definisce covarianza di \(X\) e \(Y\) il numero: \begin {equation*} \text {Cov}(X,Y)= \mathbb {E}[(X-\mathbb {E}[X])(Y-\mathbb {E}[Y])]. \end {equation*}
Con questa nuova definizione, possiamo scrivere in modo completo la varianza di \(X+Y\): \[\text {Var}(X+Y)=\text {Var}(X)+\text {Var}(Y)+2\text {Cov}(X,Y).\] La covarianza è un concetto rilevante: possiamo dimostrare che se essa è uguale a \(0\), le v.a. \(X\) e \(Y\) sono indipendenti, ma inoltre quanto più essa è prossima allo \(0\), tanto meno \(X\) e \(Y\) dipendono l’una dall’altra. Se poi la covarianza è positiva, esse aumentano o diminuiscono all’unisono, mentre se è negativa, all’aumentare dell’una l’altra tende a diminuire e viceversa. In generale, definiamo a questo scopo un ulteriore coefficiente:
Definizione 20. Date le v.a. \(X\) e \(Y\) con deviazioni standard \(\sigma _X\) e \(\sigma _Y\), si chiama coefficiente di correlazione il numero seguente: \[\rho _{XY}=\dfrac {\text {Cov}(X,Y)}{\sigma _X \sigma _Y}.\]
Se \(\rho _{XY}>0\), le v.a. \(X\) e \(Y\) sono correlate positivamente, cioè se una delle due aumenta, aumenta anche l’altra, mentre se una delle due diminuisce, diminuisce anche l’altra.
Se \(\rho _{XY}<0\), le v.a. \(X\) e \(Y\) sono correlate negativamente, cioè se una delle due aumenta, l’altra diminuisce e viceversa.
Se \(\rho _{XY} = \text {Cov}(X,Y) = 0\), allora \(X\) e \(Y\) sono scorrelate o non correlate o indipendenti.
Esattamente la stessa procedura sarà ripetuta, con qualche leggero cambiamento di notazione, nel Capitolo \(5\) sulla Teoria del Portafoglio, intendendo \(X\) e \(Y\) come v.a. che rappresentano i rendimenti di \(2\) diversi titoli rischiosi. Approfondiremo anche la trattazione sulla correlazione, il cui significato è molto importante in uno scenario finanziario.
La naturale prosecuzione di questa trattazione riguarda le variabili aleatorie (o v.a.) continue, che sono strumenti più intuitivi di quelle discrete, visto che sono fortemente legate alle funzioni di \(1\) variabile già viste e studiate nel primo corso di Matematica (Matematica Generale oppure Matematica Corso Base) del primo anno di Università.
Nella teoria delle v.a. continue si ritrovano i concetti già visti per le v.a. discrete, a parte alcune differenze tecniche, che sono le tipiche differenze che intercorrono tra la Matematica del discreto e quella del continuo. In particolare, le sommatorie vengono sostituite dagli integrali, le densità sono funzioni continue, e via dicendo. Non occorre ri-definire la variabile aleatoria nel continuo, ma ciò che invece dobbiamo ri-definire sono densità e funzione di ripartizione.
Definizione 21. Una funzione \(f:\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}\) si dice una densità (o distribuzione o legge) se valgono le seguenti proprietà2:
- \(f(x) \geq 0 \ \forall \ x \in \mathbb {R}\);
- \(f(x)\) é integrabile su tutto \(\mathbb {R}\);
- \[\int _{\mathbb {R}} f(x)dx=1.\]
Come si può immaginare, la proprietà \(3\)), che impone che l’integrale della densità su tutto \(\mathbb {R}\) sia uguale a \(1\), è esattamente analoga alla somma delle probabilità \(p_j\), \(j=1, \ldots , N\), che deve essere uguale a \(1\) nel caso discreto. Quindi anche la probabilità stessa, in questo caso, nasce da un calcolo di integrale definito.
Definizione 22. Data la v.a. \(X\) con funzione di ripartizione3 \(F(x)\), diremo che \(X\) ha densità \(f(x)\) se \(F\) è primitiva di \(f\), ossia: \begin {equation*} F(x)=\int _{-\infty }^x f(t)dt, \end {equation*} o, equivalentemente, se \begin {equation*} P(\{X \leq k\})=F(k)=\int _{-\infty }^k f(t)dt. \end {equation*}
Di conseguenza, la probabilità che \(X\) assuma valori compresi in un dato intervallo \([a,b]\) si ricava semplicemente dalle proprietà degli integrali: \begin {equation*} P(\{a \leq X \leq b\})=F(b)-F(a)=\int _{a}^b f(t)dt. \end {equation*} Inoltre, la probabilità che invece \(X\) prenda valori maggiori di un certo numero, si calcola per differenza con \(1\), ossia: \begin {equation*} P(\{X > k\})=1 – P(\{X \leq k\}) = 1 – F(k)=\int _k^{+\infty } f(t)dt. \end {equation*}
Esempio 23. La più semplice tra le densità delle v.a. continue è la cosiddetta distribuzione uniforme, definita dalla funzione: \begin {equation} f(t)=\begin {cases} 1 \qquad \text { se } t \in (0,1) \\ 0 \qquad \text { se } \ t \leq 0 \ \text { oppure } t \geq 1 \end {cases}. \label {uniforme} \end {equation} Evidentemente, (2.2.4) verifica tutte le ipotesi della definizione di densità, e in particolare è integrabile anche se discontinua in un numero finito di punti (due).
Quindi, ogni v.a. \(X\) distribuita uniformemente è tale che, per ogni \(a, \ b \in [0,1]\) si ha: \begin {equation*} P(\{a \leq X \leq b\})=\int _{a}^b dt=b-a. \end {equation*} La sua cosiddetta uniformità deriva dal fatto che la probabilità che \(X\) prenda valori in un dato intervallo dipende solo dall’ampiezza di quell’intervallo e non da dove esso si trova.
Vediamo ora come ri-definire media e varianza in uno scenario continuo.
Definizione 24. Data una v.a. \(X\) continua, di densità \(f(\cdot )\), si dice che \(X\) ha media finita se e solo se \begin {equation*} \int _{-\infty }^{+\infty } |x|f(x)dx <+\infty . \end {equation*}
Definizione 25. Se \(X\) ha media finita, si chiama media (o valore atteso o speranza matematica) di \(X\) il numero: \begin {equation} \mathbb {E}[X]=\int _{-\infty }^{+\infty } xf(x)dx. \label {mediacontinua} \end {equation}
Fondamentalmente, tutte le proprietà della media di una v.a. discreta si ripropongono nella teoria delle v.a. continue, quindi la media di una somma di 2 v.a. è la somma delle medie, e via dicendo. Se poi anche la v.a. \((X-\mathbb {E}[X])^2\) ha media finita, possiamo ridefinire anche la varianza, utilizzando la stessa legge \(f(x)\):
Definizione 26. Si chiama varianza della v.a. continua \(X\) il seguente integrale: \begin {equation} Var(X)=\int _{-\infty }^{+\infty } (x-\mathbb {E}[X])^2f(x)dx. \label {varianzacontinua} \end {equation}
E inoltre, vale anche qui la formula (2.2.3). Più complessa risulta invece la trattazione del prodotto di v.a. e della covarianza, per cui servono gli integrali doppi, e che qui non sarà affrontata.
Esempio 27. Consideriamo una v.a. continua \(X\) distribuita secondo una nuova densità detta densità esponenziale di parametro \(\lambda \), definita da: \begin {equation} f(t)=\begin {cases} \lambda e^{-\lambda t} \qquad \text { se } \ t>0 \\ 0 \qquad \qquad \text { altrimenti} \end {cases}. \label {esponenzialeconparametro} \end {equation} Quindi, possiamo schematizzare la ripartizione di \(X\) in questo modo: \begin {equation*} P(\{X \leq k\})=F(k)=\int _{-\infty }^k \lambda e^{-\lambda x}dx=\int _{0}^k \lambda e^{-\lambda x}dx. \end {equation*} Calcoliamo la media di \(X\), applicando la formula (2.2.5) e usando l’integrazione per parti: \begin {equation*} \mathbb {E}[X]=\lambda \int _{0}^{+\infty } xe^{-\lambda x}dx=\lambda \left (\left [x \cdot \dfrac {e^{-\lambda x}}{-\lambda } \right ]_0^{+\infty }-\int _0^{+\infty } 1 \cdot \left (\dfrac {e^{-\lambda x}}{-\lambda }\right )dx \right )= \end {equation*} \begin {equation*} =\lambda \left ([0-0]-\left [\dfrac {e^{-\lambda x}}{\lambda ^2} \right ]_0^{+\infty } \right )=\dfrac {1}{\lambda }. \end {equation*} Calcoliamo ora la varianza di \(X\), usando la formula (2.2.3), dopo aver ricavato che \begin {equation*} \mathbb {E}[X^2]=\lambda \int _{0}^{+\infty } x^2 e^{-\lambda x}dx=\lambda \left (\left [\dfrac {x^2 \cdot e^{-\lambda x}}{-\lambda }\right ]_0^{+\infty }-\int _0^{+\infty }2x \dfrac {e^{-\lambda x}}{-\lambda }dx \right )= \end {equation*} \begin {equation*} =\lambda \left ([0-0]+\dfrac {2}{\lambda }\int _{0}^{+\infty } xe^{-\lambda x}dx \right )=\lambda \cdot \dfrac {2}{\lambda ^3}=\dfrac {2}{\lambda ^2}. \end {equation*} Applicando (2.2.3), otteniamo: \[\text {Var}(X) = \mathbb {E}[X^2]-(\mathbb {E}[X])^2=\dfrac {2}{\lambda ^2}-\left (\dfrac {1}{\lambda }\right )^2=\dfrac {1}{\lambda ^2}.\] Ad esempio, supponiamo di avere una v.a. continua \(X\) distribuita secondo una densità di Poisson di parametro \(\lambda = 3\) e calcoliamo la probabilità che \(X\) prenda valori maggiori di \(k = 1\).
In questo caso, la densità è \(f(x) = 3 e^{- 3 x}\) e l’integrale definito da calcolare è: \[P(\{X > 1\}) = \int _1^{+\infty } 3 e^{- 3 x} dx.\] Integrando in modo elementare, otteniamo: \[3 \int _1^{+\infty } e^{- 3 x}dx = 3 \left [\dfrac { e^{- 3 x}}{- 3}\right ]_1^{+\infty } = (-1) (0 – e^{- 3}) = 0,0502,\] quindi la probabilità che una v.a. continua distribuita secondo una Poisson di parametro \(3\) ottenga valori maggiori di \(1\) è circa del \(5,02\%\).
La densità esponenziale è particolarmente indicata nelle applicazioni in cui si deve modellizzare la durata di vita degli organismi biologici, e quindi anche delle persone, o il tempo di affidabilità di lungo periodo nei sistemi meccanici.
Esempio 28. Una delle più note ed importanti distribuzioni di probabilità, di cui si fa larghissimo uso nelle Scienze Sociali, nelle Scienze Naturali, ecc., è la distribuzione normale (o Gaussiana), di media \(\mu \) e varianza \(\sigma ^2\), la cui densità è data da una funzione a campana (questa forma si ripropone anche in più variabili): \[f(x)=\dfrac {1}{\sqrt {2 \pi \sigma ^2}}e^{-\frac {(x-\mu )^2}{2\sigma ^2}}.\] Il caso più semplice è la normale standard con media nulla e varianza unitaria: \[f(x)=\dfrac {1}{\sqrt {2\pi }}e^{-\frac {x^2}{2}}.\] 
Quando una v.a. continua è distribuita normalmente, si usa la notazione rapida: \(X \sim \mathcal {N}(\mu ,\sigma ^2).\)
Come è noto, la densità gaussiana è una funzione che non può essere integrata con metodi standard, o meglio non ha una primitiva esprimibile tramite funzioni elementari, per cui per calcolare le probabilità si usano forme di approssimazione, che si trovano nelle tavole dei libri di Statistica (stessa cosa per la \(t\)-Student e per altre distribuzioni).
Esercizi Proposti
1. Calcolare la probabilità che, pescando una carta da un mazzo di \(40\) carte, esca fuori almeno un asso, di qualsiasi seme, su \(10\) diversi tentativi, ogni volta usando il mazzo intero. \([\text {circa }0,651]\)
2. Data la seguente v.a.: \begin {equation*} X = \begin {cases} x_1 = 10, \qquad \qquad P(\{X = 10\}) = p_1 = 1/12 \\ \\ x_2 = 20, \qquad \qquad P(\{X = 20\}) = p_2 = 1/4 \\ \\ x_3 = – 20, \qquad \ \ \ \ P(\{X = – 20\}) = p_3 = 2/3 \end {cases}, \end {equation*} calcolarne media e varianza. \(\left [\mathbb {E}[X] = – \dfrac {10}{3}; \ \ \text {Var}(X) = \dfrac {1675}{9} \right ]\)
3. Data la seguente v.a.: \begin {equation*} X = \begin {cases} x_1 = 100, \qquad \qquad P(\{X = 100\}) = \alpha \\ \\ x_2 = 150, \qquad \qquad P(\{X = 150\}) = 1 – \alpha \end {cases}, \end {equation*} stabilire per quali eventuali valori di \(\alpha \) si ha che \(\text {Var}(X)=96\).
\(\left [\alpha = \dfrac {1}{25} \text { oppure } \alpha = \dfrac {24}{25}\right ]\)
4. Data una v.a. continua \(X\) distribuita secondo la distribuzione \(f(x) = e^{- 2 |x|}\), calcolare, approssimando alla terza cifra decimale, \(P(\{X \leq 3\})\). \([\text {circa } 0,998]\)
5. Un individuo \(\mathcal {I}\) al tempo \(t=0\) possiede un patrimonio \(P\) di \(50000\) euro, e ha \(2\) possibilità di investimento:
- investire tutto in ZCB privi di rischio di prezzo \(100\) (al tempo iniziale) che assicurano un rendimento annuo \(i\) (posizione \(X\));
- investire metà nei ZCB privi di rischio e l’altra metà in ZCB rischiosi che dopo un anno valgono \(A = 110\) con probabilità \(0,4\) oppure \(A = 95\) con probabilità \(0,6\) (posizione \(Y\)).
Calcolare il tasso di rendimento minimo \(i^*\) dei ZCB non rischiosi affinchè il payoff atteso di \(G = X – Y\) sia positivo. \([i^* = 1\%]\)
6. Un individuo \(\mathcal {I}\) al tempo \(t=0\) possiede un patrimonio \(P\) di \(8000\) euro, e ha \(2\) possibilità di investimento:
- investire tutto in ZCB privi di rischio di prezzo \(100\) (al tempo iniziale) che assicurano un rendimento annuo \(i = 0,019\) (posizione \(X\));
- investire una parte \(q\) del patrimonio nei ZCB privi di rischio e l’altra metà in ZCB rischiosi che dopo un anno valgono \(A = 108\) con probabilità \(0,5\) oppure \(A = 96\) con probabilità \(0,5\) (posizione \(Y\)).
Calcolare la quota minima \(q^*\) del patrimonio da investire nei ZCB non rischiosi nella posizione \(Y\) affinchè il payoff atteso di \(G = X – Y\) sia maggiore o uguale a \(0\). \([q^* = 8000]\)
