La teoria dell'utilità — Modelli Matematici per le Scelte di Portafoglio

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La Mistura e le sue Proprietà

Tornando alle proprietà delle relazioni d’ordine e di equivalenza esposte nel Capitolo $3$, dobbiamo definire un concetto fondamentale che riguarda le posizioni finanziarie dell’insieme delle opportunità $\mathcal {X}$, la cosiddetta posizione finanziaria composta o mistura.

Definizione 48. Date $X_1, X_2 \in \mathcal {X}$, e un numero reale $\alpha \in [0,1]$, si chiama mistura $X_1 \alpha X_2$ la v.a. che assume i valori di $X_1$ con probabilità $\alpha $ e di $X_2$ con probabilità $1-\alpha $.

Esempio 49. Consideriamo le due seguenti v.a. $X_1$ e $X_2$ e costruiamo una mistura: \begin {equation*} X_1=\begin {cases} 2 \ \text { con prob. } \ p_1=1/3 \\ \\ 5 \ \text { con prob. } \ 1-p_1=2/3 \end {cases}, X_2=\begin {cases} -1 \ \text { con prob. } \ p_2=3/4 \\ \\ 3 \ \text { con prob. } \ 1-p_2=1/4 \end {cases}. \end {equation*} Prendendo ora $\alpha =0.7$, la mistura $X_1 0.7 X_2$ si può scrivere nel modo seguente: \begin {equation*} X_1 0.7 X_2=\begin {cases} 2 \ \text { con prob. } \ 7/30 \\ 5 \ \text { con prob. } \ 14/30 \\ -1 \text { con prob. } \ 9/40 \\ 3 \ \text { con prob. } \ 3/40 \end {cases}. \end {equation*} Ovviamente, le $4$ probabilità sono i prodotti tra il valore di $\alpha $ e le probabilità delle v.a. originarie.

La parola mistura viene dal Calcolo delle Probabilità. La prima proprietà, banale da dimostrare, è: \begin {equation} \label {proprietafondamentale} X_1 \alpha X_2 = X_2 (1-\alpha ) X_1. \end {equation} Chiamando $F_{1 \alpha 2}(t)=P\left (\left \{X_1 \alpha X_2 \leq t \right \}\right )$ la funzione di ripartizione della v.a. $X_1 \alpha X_2$, essa sarà uguale a una combinazione lineare, con pesi $\alpha $ e $1-\alpha $, delle rispettive funzioni di ripartizione $F_1(t)$ e $F_2(t) $, quindi: \[F_{1 \alpha 2}(t)=\alpha F_1(t)+(1-\alpha )F_2(t).\] Valgono le seguenti proprietà su tutte le misture:

Proprietà Archimedea: Date $3$ v.a $X_1$, $X_2$, $X_3$, esistono due numeri $\alpha , \beta \in (0,1)$ tali che: \[X_1 \succ X_2 \succ X_3 \qquad \Longrightarrow \qquad X_1 \alpha X_3 \succ X_2 \succ X_1 \beta X_3.\] Questa proprietà ha ovviamente un impatto sulle preferenze. In pratica, se $X_2$ è tra le tre la posizione intermedia ed è preferita a $X_3$, esisterà sempre una mistura di $X_1$ e $X_3$ che risulterà meno gradita di $X_2$. Analogamente, esisterà sempre una mistura di $X_1$ e di $X_3$ che risulterà preferita a $X_2$.
Proprietà di Sostituzione: Date le posizioni $X_1$, $X_2$, con $X_1 \succ X_2$, per ogni $X_3 \in \mathcal {X}$, per ogni $\alpha \in (0,1]$, si avrà: \[X_1 \alpha X_3 \succ X_2 \alpha X_3.\] Il suo significato è abbastanza semplice, in quanto se $X_1$ è preferita a $X_2$, allora resterà preferita pure se sostituiremo una parte di $X_1$ e $X_2$ con una qualsiasi altra opportunità $X_3$.
Proprietà di Monotonia: Date $X_1, X_2 \in \mathcal {X}$, con $X_1 \succ X_2$, e dati $\alpha , \beta \in [0,1]$, con $\alpha < \beta $, si ha: \[X_1 \beta X_2 \succ X_1 \alpha X_2.\] Anche qui tutto è molto intuitivo: l’ordinamento sui numeri $\alpha $ e $\beta $ si trasferisce sulle relative misture con $X_1$ e $X_2$.
Proprietà di Consistenza: Date le $2$ posizioni $X_1, X_2 \in \mathcal {X}$, tali che $X_1 \succeq X_2$, allora per qualsiasi $\alpha \in [0,1]$ deve valere: \[X_1 \succeq X_1 \alpha X_2 \succeq X_2.\] Anche qui, abbastanza semplice. Se $\alpha =0$, la mistura si riduce a $X_2$ e la catena di preferenze è banale. Se $\alpha =1$, la mistura si riduce a $X_1$ e la catena è banale. Se invece $\alpha $ è interno all’intervallo $[0,1]$, in pratica consegue dalla monotonia, perchè: \[X_1 = X_1 1 X_2 \succeq X_1 \alpha X_2 \succeq X_1 0 X_2 = X_2.\]

Tutte queste proprietà possono essere dimostrate con tecniche abbastanza semplici. Come esempio, mostriamo una dimostrazione di un’altra proprietà, la Proprietà di Continuità.

Proposizione 50. Date $3$ posizioni $X_1,X_2,X_3 \in \mathcal {X}$ tali che $X_1 \succeq X_2 \succeq X_3$, valgono le seguenti:

esiste $\alpha \in [0,1]$ tale che $X_2 \sim X_1 \alpha X_3$;
con l’ipotesi aggiuntiva $X_1 \succ X_3$, tale $\alpha $ esiste ed è unico.

Dimostrazione. Per quanto riguarda il punto $1$, se $X_1 \sim X_2$ oppure $X_2 \sim X_3$, la tesi è facilmente dimostrata con $\alpha =1$ oppure con $\alpha =0$ rispettivamente. Se invece la preferenza è forte, per la Proprietà Archimedea, esistono $\alpha ^\prime $ e $\alpha ^{\prime \prime }$ tali che \[X_1 \succ X_2 \succ X_3 \qquad \Longrightarrow \qquad X_1 \alpha ^\prime X_3 \succ X_2 \succ X_1 \alpha ^{\prime \prime } X_3.\] Qui, per la Proprietà di Monotonia, $\alpha ^\prime >\alpha ^{\prime \prime }$. ma allora, per continuità delle funzioni di ripartizione, esisterà $\alpha ^* \in (\alpha ^\prime , \alpha ^{\prime \prime })$ tale che $X_2 \sim X_1 \alpha ^* X_3$.

Il punto $2$ riguarda l’unicità. Se per assurdo ce ne fossero due, $\alpha ^*$ e $\beta ^*$, con $\alpha ^* > \beta ^*$ (non è una restrizione, essendo numeri reali uno deve essere maggiore dell’altro), avremmo, poichè $X_1 \succ X_3$, per la Proprietà di Monotonia: \[X_2 \sim X_1 \alpha ^* X_3 \succ X_1 \beta ^* X_3 \sim X_2,\] quindi $X_2 \succ X_2$, che è impossibile. □

Esercizio 51. Provare la seguente proprietà: date $X_1,X_2,X_3,X_4 \in \mathcal {X}$, se valgono $X_1 \succ X_2$ e $X_3 \succ X_4$, allora per ogni $\alpha \in [0,1]$, deve valere \[X_1 \alpha X_3 \succ X_2 \alpha X_4.\] Per la Proprietà di Sostituzione, già sappiamo che \[X_1 \succ X_2 \qquad \Longrightarrow \qquad X_1 \alpha X_3 \succ X_2 \alpha X_3,\] per qualsiasi $\alpha \in (0,1]$ e per ogni altra posizione $X_3 \in \mathcal {X}$. Analogamente: \[X_3 \succ X_4 \qquad \Longrightarrow \qquad X_3 \alpha X_2 \succ X_4 \alpha X_2.\] Rinominando $\alpha =1-\beta $ e applicando (4.1.1), si ha: \[X_2 \beta X_3 \succ X_2 \beta X_4,\] che ovviamente vale per ogni $\beta \in (0,1)$.

Esercizio 52. Date le seguenti v.a. $X$ e $Y$ definite come segue: \begin {equation*} X = \begin {cases} 4 \ \text { con prob. } \ p_1=1/5 \\ \\ – 2 \ \text { con prob. } \ 1-p_1=4/5 \end {cases}, \ \ Y = \begin {cases} 5 \ \text { con prob. } \ q_1=1/6 \\ – 1 \ \text { con prob. } \ q_2=1/3 \\ 1 \ \text { con prob. } \ q_3=1/2 \end {cases}, \end {equation*} stabilire per quale $\alpha \in (0,1)$ la mistura $X \alpha Y$ ha media uguale a $1/2$, e calcolare successivamente la varianza della mistura trovata. Inizialmente, scriviamo l’espressione della mistura per un generico $\alpha $: \begin {equation*} X \alpha Y = \begin {cases} 4 \ \ \ \text { con prob. } \ \alpha /5 \\ – 2 \ \text { con prob. } \ 4 \alpha /5 \\ 5 \ \ \ \text { con prob. } \ (1 – \alpha )/6 \\ – 1 \ \text { con prob. } \ (1 – \alpha )/3 \\ 1 \ \ \ \text { con prob. } \ (1 – \alpha )/2 \end {cases}. \end {equation*} A questo punto, imponiamo che la media sia uguale a $1/2$, condizione che genera un’equazione di primo grado nella variabile $\alpha $: \[\mathbb {E}[X \alpha Y] = 1 \ \ \ \Longleftrightarrow \ \ \ 4 \cdot \dfrac {\alpha }{5} – 2 \cdot \dfrac {4 \alpha }{5} + \dfrac {5 (1 – \alpha )}{6} – \dfrac {1 – \alpha }{3} + \dfrac {1 – \alpha }{2} = \dfrac {1}{2} \ \ \ \Longleftrightarrow \] \[\Longleftrightarrow \ \ \ \left (\dfrac {4}{5} – \dfrac {8}{5} – \dfrac {5}{6} + \dfrac {1}{3} – \dfrac {1}{2} \right ) \alpha = \dfrac {1}{2} – \dfrac {5}{6} + \dfrac {1}{3} – \dfrac {1}{2} \ \ \ \Longleftrightarrow \ \ \ – \dfrac {54}{30} \alpha = – \dfrac {1}{2},\] quindi il valore di $\alpha $ cercato è $\alpha = \dfrac {5}{18}$.

Allora la mistura assume la forma: \begin {equation*} X \tfrac {5}{18} Y = \begin {cases} 4 \ \text { con prob. } \ 1/18 \\ – 2 \ \text { con prob. } \ 2 /9 \\ 5 \text { con prob. } \ 13/108 \\ – 1 \text { con prob. } \ 13/54 \\ 1 \ \text { con prob. } \ 13/36 \end {cases}. \end {equation*} La varianza risulta essere: \[Var \left (X \tfrac {5}{18} Y \right ) = 4^2 \dfrac {1}{18} + (-2)^2 \dfrac {2}{9} + 5^2 \dfrac {13}{108} + (-1)^2 \cdot \dfrac {13}{54} + 1^2 \cdot \dfrac {13}{36} – \left (\dfrac {1}{2}\right )^2 = \] \[ = \dfrac {8}{9} + \dfrac {8}{9} + \dfrac {325}{108} + \dfrac {13}{54} + \dfrac {13}{36} – \dfrac {1}{4} = \dfrac {555}{108} = \dfrac {185}{36}.\]

Siamo ora pronti per legare la Teoria delle Preferenze alla Teoria dell’Utilità, ossia siamo in grado di vedere come una relazione di preferenza definisce in modo ’naturale’ una funzione di utilità.

La Rappresentazione dell’Utilità

Il risultato essenziale della Teoria dell’Utilità risale al $1944$, anno in cui John von Neumann e Oskar Morgenstern pubblicarono a Princeton il loro libro fondamentale, Theory of Games and Economic Behavior[VNM]. Ci rifaremo alla formulazione semplificata del Teorema di Rappresntazione enunciata nel Capitolo $2$, Sezione $2.2$ del [CDFM].

Teorema 53. Data la relazione di preferenza $\succeq $ definita su un insieme delle opportunità $\mathcal {X}$, se essa:

è riflessiva, transitiva e completa;
soddisfa la Proprietà Archimedea;
soddisfa la Proprietà di Sostituzione,

allora esiste una funzione $u(x)$ tale che $\forall \ X_1,X_2 \in \mathcal {X}$: \[X_2 \succeq X_1 \qquad \Longleftrightarrow \qquad \mathbb {E}[u(X_2)] \geq \mathbb {E}[u(X_1)].\] Inoltre, la funzione di utilità $u(x)$ è unica a meno di una trasformazione lineare positiva crescente.

Notare che per ’trasformazione lineare positiva crescente’ (a volte detta anche trasformazione affine positiva) si intende che, ogni altra funzione di utilità associata alla relazione di preferenza $\succeq $ su $\mathcal {X}$ è del tipo \[v(x)= \alpha u(x)+\beta ,\] dove $\alpha >0$ e $\beta \in \mathbb {R}$.

In un certo senso, la struttura di utilità estende e migliora quella data dall’operatore di ordinamento. Anzi, come operatore di ordinamento si potrà proprio scegliere $H(X)=\mathbb {E}[u(X)]$. La condizione sui valori attesi delle utilità si può anche suddividere nelle due condizioni che esprimono preferenza stretta ed equivalenza:

\[X_2 \succ X_1 \qquad \Longleftrightarrow \qquad \mathbb {E}[u(X_2)] > \mathbb {E}[u(X_1)].\]

\[X_2 \sim X_1 \qquad \Longleftrightarrow \qquad \mathbb {E}[u(X_2)]=\mathbb {E}[u(X_1)].\]

Il Criterio dell’Utilità Attesa

Il principio che andremo a esporre si chiama Principio dell’Utilità Attesa, anche detto Criterio, in quanto induce un ulteriore criterio di preferenza. Vanno premesse alcune assunzioni iniziali sull’insieme $\mathcal {X}$ da considerare e sulla funzione di utilità indotta dalla relazione di preferenza:

ogni immagine $u(X)$ è a sua volta una variabile aleatoria definita per ogni $X \in \mathcal {X}$;
ogni $u(X)$ ha valore atteso finito, cioè $\mathbb {E}[u(X)]<+\infty $.

L’idea cardine è quella di trasformare gli importi tramite una determinata funzione di utilità $u(x)$, opportunamente scelta dall’individuo $\mathcal {I}$, in base alla quale viene ri-definito l’operatore di ordinamento: \begin {equation} \label {utilitaattesa} H(X)=\mathbb {E}[u(X)]. \end {equation} Come ogni funzione di utilità, $u(\cdot )$, anche detta utilità cardinale o utilità di von Neumann-Morgenstern, è strettamente crescente, e date due posizioni $X,Y \in \mathcal {X}$, il passaggio dalla posizione $X$ alla posizione $Y$ è detto:

vantaggioso se $\mathbb {E}[u(Y)]>\mathbb {E}[u(X)],$
svantaggioso se $\mathbb {E}[u(Y)]<\mathbb {E}[u(X)],$
indifferente se $\mathbb {E}[u(Y)]=\mathbb {E}[u(X)].$

Possiamo anche ri-definire il concetto di equivalente certo in questo contesto. Nel caso in cui $x \in \mathcal {X}$ sia un importo certo, evidentemente $\mathbb {E}[u(x)]=u(x)$, quindi $h(x)=u(x)$ e di conseguenza \begin {equation} \label {equivalentecertoconu} x^*=u^{-1}(\mathbb {E}[u(X)]). \end {equation} In generale, data una v.a. $X$ con determinazioni $x_1$ con probabilità $p_1$, $x_2$ con probabilità $p_2$,…, $x_N$ con probabilità $p_N$, e ovviamente tutte le $p_k \geq 0$ e $p_1+p_2+\cdots +p_N=1$, la (4.3.2) si riscrive così: \begin {equation} x^*=u^{-1} \left (\sum _{k=1}^N u(x_k)p_k \right ). \label {completeequivalentecerto} \end {equation}

Esempio 54. Consideriamo un gioco del tipo ’Testa o Croce’. Un individuo $\mathcal {I}$ è in possesso di un patrimonio iniziale $p=1000$ euro, e ad ogni lancio vince $50$ euro se esce Testa e perde $40$ euro se esce Croce. La sua funzione di utilità è di tipo logaritmico: $u(x)=\ln (1+x)$. Essendo le probabilità dei due esiti uguali, quindi $1/2$ e $1/2$, la v.a. che indica il guadagno della scommessa è $G$ e di conseguenza le due posizioni, iniziale e finale, saranno: \[X=1000, \qquad \qquad Y=1000+G=\begin {cases} 1050 \qquad \text {con probabilità } \ 1/2 \\ 960 \qquad \ \text {con probabilità } \ 1/2 \end {cases}.\] Le rispettive utilità attese sono: \[\mathbb {E}[u(X)]=\ln (1001)=6,908; \qquad \mathbb {E}[u(Y)]=\dfrac {1}{2}[\ln (1051)+\ln (961)]=6,912.\] La variazione è dunque positiva, anche se piccola: \[\mathbb {E}[u(Y)]-\mathbb {E}[u(X)]=6,912-6,908=0,004.\] Quindi, la strategia che porta a cambiare posizione da $X$ a $Y$ risulta vantaggiosa.

Determiniamo anche l’equivalente certo in questo caso. La funzione inversa di $u(x)=\ln (1+x)$ è un’esponenziale, per l’esattezza $u^{-1}(z)=e^z-1$, quindi chiamando $x^*$ e $y^*$ i rispettivi equivalenti certi, si ha: \[x^*=u^{-1}\left (\mathbb {E}[u(x)]\right )=1000, \qquad y^*=u^{-1}\left (\mathbb {E}[u(Y)]\right ) =e^{6,912}-1=1003,253.\] Notare come l’equivalente certo di $X$ è $X$ stesso, a meno di approssimazioni, essendo una posizione non aleatoria.

Abbiamo qui applicato la formula per l’equivalente certo data da (4.3.2). A volte, si usa una differente denominazione, cioè l’equivalente certo viene chiamato media associativa $M_u(X)$ della v.a. $X$. Possiamo ripetere la classificazione di vantaggiosità del cambio di posizione da $X$ a $Y$ in base alla media associativa. La scelta $X \rightarrow Y$ è

vantaggiosa se $M_u(Y)>M_u(X),$
svantaggiosa se $M_u(Y)<M_u(X),$
indifferente se $M_u(Y)=M_u(X).$

Riferendoci di nuovo all’Esempio precedente, si può stabilire la vantaggiosità anche considerando quindi le medie associative: \[M_u(Y)-M_u(X)=1003,253-1000=3,253>0.\]

Esercizio 55. Consideriamo la posizione certa $X=500$ euro di un individuo $\mathcal {I}$ la cui funzione di utilità è $u(x)=\sqrt {x^2+3}$. L’individuo può scommettere $400$ euro del suo patrimonio su un evento sportivo che ha tre esiti, diciamo $V$ (Vittoria), $P$ (Pareggio) e $S$ (Sconfitta). Il Pareggio, che avviene con probabilità $p^*$ paga $1950$ euro, mentre gli altri due esiti portano alla sconfitta.

Sapendo che l’evento Vittoria si verifica con probabilità $1/10$, quale deve essere il valore $p^*$ affinchè la media associativa della scommessa $Y$ sia di $600$ euro? E in questo caso, la scelta di scommettere è o no vantaggiosa?

Prima di tutto, notiamo che possiamo fin da subito rispondere alla seconda domanda, sapendo che la vantaggiosità si stabilisce sulla base delle medie associative. Già sappiamo che, essendo la posizione $X$ certa, il suo equivalente certo è se stessa, quindi $M_u(X)=500$, quindi $500<600$, cioè $M_u(X)<M_u(Y)$, quindi in questo caso la scelta di scommettere è vantaggiosa.

Riconsiderando il primo punto, possiamo schematizzare la forma della v.a. $Y$ come segue: \begin {equation*} Y=\begin {cases} 500-400=100 \qquad \ \ \ \text {con probabilità 1/10} \\ 1950-400=1550 \qquad \text {con probabilità } \ p^* \\ 500-400=100 \qquad \ \ \ \text {con probabilità } \ 9/10-p^* \end {cases} \end {equation*} Calcoliamo il valore atteso della $u(Y)$ e poi lo uguagliamo a $600$ per risolvere l’equazione nel parametro $p^*$: \[\mathbb {E}[u(Y)]=\sqrt {100^2+3}\cdot \dfrac {1}{10}+\sqrt {1550^2+3} \cdot p^*+\sqrt {100^2+3}\left (\dfrac {9}{10}-p^* \right )=\] \[=10,001+1550 p^*+90,009-10,001 p^*=600 \qquad \Longleftrightarrow \qquad 1539,999 p^*=499,99,\] da cui $p^*=0,3246 \simeq 32,46\%$.

Torniamo a parlare, in questo contesto, di avversione/propensione al rischio. L’avversione al rischio si può addirittura esprimere ’graficamente’, come vedremo nella prossima Figura. Il caso più standard di funzione di utilità, maggiormente coerente con le consuete ipotesi di razionalità economica, è quello di funzione di utilità positiva, crescente e concava (il caso lineare, che è al contempo convesso e concavo, è raro e nonstandard), in altre parole, considerando che $u(x) \in C^2(\mathbb {R}_+)$, devono valere, per ogni $x \in \mathbb {R}_+$: \[u(x)\geq 0; \qquad \qquad u^\prime (x) >0; \qquad \qquad u^{\prime \prime }(x)<0.\] In realtà la definizione basilare di concavità di una funzione non richiede l’esistenza della derivata seconda, in altri termini $u(x)$ potrebbe anche non essere $C^2$. Dati $2$ qualsiasi punti distinti del dominio di $u(x)$, $x_1$ e $x_2$, si dice che $u(x)$ è concava se per ogni $\alpha \in (0,1)$ vale la seguente disuguaglianza: \begin {equation*} \alpha u(x_1) + (1-\alpha ) u(x_2) < u[\alpha x_1 + (1-\alpha ) x_2]. \label {concavitaclassica} \end {equation*} Per la definizione di convessità invece, come si può intuire, va usato il segno $>$ nella (??).

Una interpretazione intuitiva della concavità di una funzione a una variabile è appunto grafica: dati $2$ punti qualsiasi del suo grafico, il segmento che li congiunge, la cui espressione è quella nel membro sinistro di (??), si trova tutto sotto al grafico della $u(x)$.

Le funzioni di utilità concave possiedono un’importantissima proprietà: è la Disuguaglianza di Jensen¹: data una funzione di utilità concava $u(\cdot )$, si ha: \begin {equation} \label {Jensen} \mathbb {E}[u(X)] < u \left (\mathbb {E}[X]\right ). \end {equation} La disuguaglianza (4.3.4) stabilisce, che, in corrispondenza di una struttura concava di utilità, il valore atteso dell’utilità fornita da una posizione $X$ è sempre minore dell’utilità fornita dal suo valore atteso.

In generale, data una v.a. $X$ con determinazioni $x_1$ con probabilità $p_1$, $x_2$ con probabilità $p_2$,…, $x_N$ con probabilità $p_N$, e ovviamente tutte le $p_k \geq 0$ e $p_1+p_2+\cdots +p_N=1$, la (4.3.4) si riscrive così: \begin {equation} \sum _{k=1}^N u(x_k)p_k < u \left (\sum _{k=1}^N x_k p_k \right ). \label {completeJensen} \end {equation} Si può quantificare una misura di rischiosità $\Phi (\cdot )$, che ci sarà molto utile successivamente, in base alla differenza tra le due quantità come segue: \[\Phi (X)= u \left (\mathbb {E}[X]\right )- \mathbb {E}[u(X)].\]

Esempio 56. Verifichiamo la disuguaglianza di Jensen e ricaviamo il valore della funzione $\Phi (X)$ data la seguente v.a.: \begin {equation*} X=\begin {cases} x_1=100 \qquad \text {con probabilità } \ 3/5 \\ x_2=20 \qquad \text {con probabilità } \ 2/5 \end {cases}, \end {equation*} data una funzione di utilità $u(x)=\sqrt [3]{x}+5$. Notare che $u(x)$ verifica le proprietà, in quanto: \[u(100)=\sqrt [3]{100}+5=9,641; \qquad \qquad u(20)=\sqrt [3]{20}+5=7,714,\] quindi è positiva su tutti i valori del dominio. Inoltre, le derivate prima e seconda sono rispettivamente: \[u^\prime (x)=\dfrac {1}{3}\cdot x^{-2/3}; \qquad \qquad u^{\prime \prime }(x)=-\dfrac {2}{9}\cdot x^{-5/3},\] rispettivamente positiva e negativa su tutte le determinazioni del dominio.

Si ha, rispettivamente: \[\mathbb {E}[X]=68; \qquad u \left (\mathbb {E}[X]\right )=u(68)=9,081; \qquad \mathbb {E}[u(X)]=8,87.\] Si vede immediatamente che $u \left (\mathbb {E}[X]\right )>\mathbb {E}[u(X)]$, quindi(4.3.4) è soddisfatta. Invece, \[\Phi (X)=u \left (\mathbb {E}[X]\right )-\mathbb {E}[u(X)]=0,211.\]

Di seguito, la tipica rappresentazione grafica, facile da capire se consideriamo $2$ qualsiasi valori $x_1$ e $x_2$ positivi.

Figura 3. Disuguaglianza di Jensen: grafico di una funzione di utilita u(x) concava; la corda che unisce i punti in x1 e x2 sta sotto la curva, quindi l'utilita del valore medio, u di (x1 piu x2) diviso 2, e maggiore della media delle utilita, (u(x1) piu u(x2)) diviso 2.

Dalla Figura $3$, possiamo notare come, prendendo $2$ qualsiasi punti $x_1$ e $x_2$, il valore dell’utilità generata dalla loro media sia maggiore della media delle due utilità di $x_1$ e $x_2$ proprio a causa della concavità di $u(\cdot )$, quindi in sintesi, come nella (4.3.4): \[u \left (\dfrac {x_1+x_2}{2}\right )>\dfrac {u(x_1)+u(x_2)}{2}.\] Dalla (4.3.4) inoltre si ha un’ulteriore disuguaglianza che coinvolge l’equivalente certo: applicando su entrambi i membri la funzione $u^{-1}(\cdot )$ si ha \[u^{-1}\left (\mathbb {E}[u(X)]\right )<u^{-1}\left (u \left (\mathbb {E}[X]\right )\right )=\mathbb {E}[X],\] da cui $x^* < \mathbb {E}[X]$.

Tornando al problema della misurazione del livello di avversione al rischio, questo può essere correlato alla funzione di utilità, grazie a una funzione introdotta da K. Arrow e da J. Pratt, in due diversi contributi tra il $1964$ e il $1970$.

Definizione 57. Data una funzione di utilità $u(x)$, si chiama misura (o funzione) di avversione al rischio di Arrow-Pratt la seguente funzione: \[r_u(x)=-\dfrac {u^{\prime \prime }(x)}{u^\prime (x)}.\]

Fondamentalmente, $r(x)$ è una concavità relativa, positiva in quanto la derivata seconda è negativa. Si può provare che maggiore è il premio di indifferenza $\lambda (X)$, maggiore è la concavità relativa, e quindi maggiore è il suo rischio percepito. Se $u(x)$ fosse lineare, che è poi il caso limite, $r(x)$ sarebbe identicamente nulla.

Definizione 58. Data una funzione di utilità $u(x)$, si chiama misura relativa di avversione al rischio la seguente funzione: \[x r_u(x)=-x \cdot \dfrac {u^{\prime \prime }(x)}{u^\prime (x)}.\]

Proposizione 59. Date una funzione di utilità $u(x)$ e una sua qualsiasi trasformazione lineare positiva $v(x)=\alpha u(x)+\beta $, si ha che $r_u(x)=r_v(x)$.

Dimostrazione. Segue immediatamente dalla formula per il calcolo di $r_v(x)$, cioè: \[r_v(x)=-\dfrac {(\alpha u(x)+\beta )^{\prime \prime }}{(\alpha u(x)+\beta )^\prime }=-\dfrac {\alpha u^{\prime \prime }(x)}{\alpha u^\prime (x)}=-\dfrac {u^{\prime \prime }(x)}{u^\prime (x)}=r_u(x).\] □

Vale anche la seguente proprietà che mette in relazione i valori attesi di $2$ diverse funzioni di utilità $u(x)$ e $v(x)$ con le loro misure di avversione al rischio (ma anche con le rispettive medie associative): \[\mathbb {E}[u(X)]<\mathbb {E}[v(X)] \qquad \Longleftrightarrow \qquad r_u(x)>r_v(x).\] In un certo senso, il significato intuitivo di questo risultato è che se l’avversione al rischio è maggiore con una certa funzione di utilità, l’equivalente certo associato a quella funzione è minore.

Esercizio 60. Data la funzione di utilità esponenziale $u(x)=1-2e^{-\frac {x}{2}}$, calcolare:

la relativa misura di avversione al rischio di Arrow-Pratt;
l’equivalente certo $x^*$.

Per quanto riguarda la misura di Arrow-Pratt, semplicemente applicandone la Definizione, si ha: \[r(x)=-\dfrac {-2 \left (-\dfrac {1}{2}\right )\left (-\dfrac {1}{2}\right )e^{-\frac {x}{2}} }{-2 \cdot \left (-\dfrac {1}{2}\right )e^{-\frac {x}{2}}}=\dfrac {1}{2},\] quindi è costante per ogni $x \in \mathbb {R}_+$.

Invece, l’equivalente certo si ricava da un calcolo leggermente più complicato. Prima di tutto, va notato che \[y=1-2e^{-\frac {x}{2}} \qquad \Longleftrightarrow \qquad e^{-\frac {x}{2}}=\dfrac {1-y}{2} \qquad \Longleftrightarrow \qquad -\dfrac {x}{2}=\ln \left (\dfrac {1-y}{2}\right ),\] quindi l’inversa di $u(\cdot )$ risulta: $x=u^{-1}(y)=-2\ln \left (\dfrac {1-y}{2}\right )$.

A questo punto, troviamo l’espressione di $\mathbb {E}[u(X)]$, che risulta, per le note proprietà del valore atteso: \[\mathbb {E}[u(X)]=\mathbb {E}\left [ 1-2e^{-\frac {X}{2}}\right ]=1-2 \mathbb {E}\left [e^{-\frac {X}{2}}\right ].\] Quindi usando la formula (4.3.2 ): \[x^*=u^{-1}(\mathbb {E}[u(X)])=u^{-1}\left (1-2 \mathbb {E}\left [e^{-\frac {X}{2}}\right ] \right )=\] \[=-2 \ln \left (\dfrac {1-\left (1-2 \mathbb {E}\left [e^{-\frac {X}{2}}\right ] \right )}{2}\right )=-2 \ln \left (\mathbb {E}\left [e^{-\frac {X}{2}}\right ] \right ).\]

Notare che l’unità di misura dell’avversione al rischio è euro$^{-1}$, quindi se vogliamo un’unità di misura espressa in euro, possiamo usare il reciproco della $r_u(x)$, cioè $B(x)=\dfrac {1}{r_u(x)}$, che però sarà tanto più grande quanto più l’individuo $\mathcal {I}$ sarà propenso al rischio.

Nota 61. La funzione di utilità dell’ultimo Esempio si può generalizzare per fornire la sua misura di avversione al rischio per ogni suo esponente. In generale, data $u(x)=1-e^{-\alpha x}$, con $\alpha >0$, avremo: \[r_u(x)=-\dfrac {\alpha \cdot (-\alpha ) e^{-\alpha x}}{\alpha e^{-\alpha x}}=\alpha .\] Risulta in pratica l’unico caso di avversione al rischio costante in ogni punto, a parte l’utilità lineare, molto raramente usata, $u(x)=\alpha x + \beta $, la cui misura di avversione al rischio è identicamente $0$.

¹Dal nome del matematico danese Johan Jensen ($1859$–$1925$).

Altro sulle Funzioni di Utilità

In questo Capitolo, abbiamo visto negli Esempi vari tipi di funzioni di utilità $u(x)$, diverse tra loro ma tutte positive, crescenti e concave. In questa lista abbreviata ne riepiloghiamo alcune di quelle particolarmente rilevanti:

Utilità Esponenziale: La forma più generale è data da \[u(x)=\alpha -\beta e^{-\gamma x},\] con $\alpha , \beta ,\gamma $ parametri reali positivi. Anche per $\alpha =0$ abbiamo una funzione crescente e concava, ma non tutta a valori positivi. Ha misura di Arrow-Pratt costante: $r_u(x)=\gamma $.
Utilità Logaritmica: Anche qui consideriamo la scrittura più generale: \[u(x)=\alpha +\ln (\beta x + \gamma ),\] con $\alpha , \beta , \gamma $ parametri reali tali che la $u(x)$ sia definita per $x \geq 0$ (in questo caso l’argomento del logaritmo è positivo per $x > -\gamma /\beta $) e positiva.
Utilità Isoelastica o CRRA: Questa ha una forma tipo potenza, cioè, a meno di traslazioni: \[u(x)=\dfrac {x^\alpha }{\alpha }, \qquad \qquad \alpha \in (-\infty ,1)\cup (1,0).\] L’acronimo CRRA significa ’Constant Relative Risk Aversion’, e infatti la formula della Definizione 58 è \[-x \cdot \dfrac {\dfrac {\alpha \cdot (\alpha -1)x^{\alpha -2}}{\alpha }}{\dfrac {\alpha x^{\alpha -1}}{\alpha }}=1-\alpha .\]
Utilità di tipo HARA: Hanno forma generale data da: \[u(x)=\dfrac {(\alpha +\beta x)^{1-\frac {1}{\beta }}}{\beta -1}, \qquad x>-\dfrac {\alpha }{\beta }, \ \ \beta \in \mathbb {R}\setminus \left \{0,1\right \}\] ed è semplice verificare che la loro misura di avversione al rischio di Arrow-Pratt ha forma iperbolica.

Può essere utile conoscere l’approssimazione quadratica delle funzioni di utilità, per cui bisogna richiamare la formula di Taylor per ogni funzione che si può sviluppare in serie polinomiale attorno ad un punto $x_0$ del dominio (naturalmente parliamo di funzioni $C^\infty $, cioè infinitamente derivabili e con tutte le derivate continue): \[u(x)=u(x_0)+\sum _{k=1}^\infty \dfrac {u^{(k)}(x_0)(x-x_0)^k}{k!},\] dove $k!=1 \cdot 2 \cdots (k-1) \cdot k$ indica il fattoriale e $u^{(k)}(x_0)$ indica la $k$-esima derivata di $u(x)$ valutata in $x_0$. Rinominando la variabile $x-x_0=h$ e $p=x_0$, la precedente formulazione è equivalente a: \[u(p+h)=u(p)+\sum _{k=1}^\infty \dfrac {u^{(k)}(p)h^k}{k!},\]

Ora, supponiamo che $u(x)$ sia un’utilità e che $p$ sia il patrimonio dell’individuo $\mathcal {I}$ e valutiamo un qualsiasi incremento $h$ del patrimonio approssimando l’utilità con la serie di Taylor, fermandoci al secondo ordine perchè i termini successivi sono trascurabili: \[u(p+h) \simeq u(p)+u'(p)h+\dfrac {u^{\prime \prime }(p)h^2}{2}+\cdots \] da cui, usando l’uguaglianza, sottraendo $u(p)$ da entrambi i membri per valutare l’incremento si ha: \[u(p+h)-u(p)=u'(p)h+\dfrac {u^{\prime \prime }(p)h^2}{2}\] e poi, dividendo i membri per la derivata $u^\prime (p)$, che è sempre positiva, otteniamo: \[\dfrac {u(p+h)}{u^\prime (p)}-\dfrac {u(p)}{u^\prime (p)}=h+\dfrac {u^{\prime \prime }(p)}{u^\prime (p)}\cdot \dfrac {h^2}{2}.\] Se consideriamo il primo membro come funzione dell’incremento $h$, è una trasformazione lineare di $u(p+h)$, quindi a essa equivalente, mentre nel secondo membro possiamo riconoscere la misura di avversione al rischio di Arrow-Pratt, quindi: \[u(p+h) \simeq h-\dfrac {r_u(p) h^2}{2}.\] Nel prossimo Capitolo si tornerà a parlare della Teoria dell’Utilità, nell’ambito dell’analisi bidimensionale sul piano Rischio-Rendimento, per stabilire un criterio di preferenza tra diversi titoli.

Esercizi Proposti

1. Date le seguenti v.a. $X$ e $Y$: \begin {equation*} X = \begin {cases} 10 \ \text { con prob. } \ p_1=1/4 \\ \\ 24 \ \text { con prob. } \ p_2=3/4 \end {cases}, \ \ Y = \begin {cases} 15 \ \text { con prob. } \ q_1=1/5 \\ 40 \ \text { con prob. } \ q_2=1/5 \\ – 10 \ \text { con prob. } \ q_3=3/5 \end {cases}, \end {equation*} scrivere la v.a. mistura $X 0.4 Y$ e calcolarne media e varianza.

$\left [ X 0.4 Y = \begin {cases} 10 \ \text { con prob. } \ 1/10 \\ 24 \ \text { con prob. } \ 3/10 \\ 15 \ \text { con prob. } \ 3/25 \\ 40 \ \text { con prob. } \ 3/25 \\ – 10 \ \text { con prob. } \ 9/25 \end {cases}. \ \mathbb {E}[X 0.4 Y] = \dfrac {56}{5}. \ Var(X 0.4 Y) = 312,36 \right ]$

2. Date le seguenti v.a. $X$ e $Y$: \begin {equation*} X = \begin {cases} 100 \ \text { con prob. } \ p_1=1/4 \\ \alpha \ \ \ \ \text { con prob. } \ p_2=1/4 \\ 250 \ \ \ \text {con prob.} \ p_3 = 1/2 \end {cases}, \ \ Y = \begin {cases} 150 \ \text { con prob. } \ q_1=1/5 \\ 120 \ \text { con prob. } \ q_2=4/5 \end {cases}, \end {equation*} stabilire il valore di $\alpha $ tale che la v.a. mistura $X 0.2 Y$ abbia media uguale a $200$. Fissato poi quel valore, calcolare la varianza di $X 0.2 Y$.

$\left [\alpha = 1384. \ Var(X 0.2 Y) = 74918,8 \right ]$

3. Consideriamo un individuo $\mathcal {I}$ in possesso di un patrimonio di $1000$ euro e la cui funzione di utilità è $u(x)=\ln (\sqrt {x} + 1)$. L’individuo può scommettere $1000$ euro del suo patrimonio su un evento sportivo che ha tre esiti, diciamo $V$ (Vittoria), con probabilità $3/7$, $P$ (Pareggio) con probabilità $2/7$ e $S$ (Sconfitta), con probabilità $2/7$. In caso di vittoria, l’individuo vince $2500$ euro, mentre gli altri due esiti portano alla sconfitta, e quindi alla perdita di tutto il patrimonio. Calcolare il valore atteso $\mathbb {E}[u(X)]$. [$\mathbb {E}[u(X)] = 1,578$]

4. Un individuo $\mathcal {I}$ gioca una scommessa puntando $500$ euro. La vittoria, che gli frutta una vincita di ulteriori $400$ euro, ha probabilità $3/5$. La sconfitta, che gli farebbe perdere tutti e $500$ gli euro puntati, ha probabilità $2/5$. Essendo la sua funzione di utilità $u(x) = \sqrt {\dfrac {x^2 + 2}{3}}$, calcolare l’equivalente certo $x^*$ della scommessa. [$x^* = 23,206$]

5. Data la funzione di utilità $u(x) = 1 + \dfrac {\sqrt {x+4}}{5}$, determinare la relativa misura di avversione al rischio di Arrow-Pratt. $\left [ r_u(x) = \dfrac {1}{2(x + 4)} \right ]$

6. Data la famiglia di funzioni di utilità $u(x) = 1 + \ln (k x + 1)$, calcolare il valore di $k$ affinchè la misura relativa di avversione al rischio nel punto $x = 1$ sia uguale a $3/5$. $\left [ k = \dfrac {3}{2}\right ]$