Operazioni e regimi finanziari - UNIVERSITÀ INCLUSIVA

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Il valore del tempo, le grandezze fondamentali (capitale, montante, interesse, sconto) e i tre regimi finanziari: interesse semplice, sconto commerciale e interesse composto. È il modulo di base su cui poggia tutto il resto del corso.

1. Il valore del tempo

La matematica finanziaria studia le operazioni finanziarie, cioè i contratti che riguardano lo scambio di somme di denaro — di capitali, come si preferisce dire — disponibili in epoche diverse. Il punto di partenza di tutta la disciplina è un’osservazione tanto semplice quanto profonda: una stessa quantità di denaro non ha lo stesso valore a seconda del momento in cui è disponibile. Avere 100 euro oggi non equivale ad avere 100 euro fra un anno.

Questa idea prende il nome di valore temporale del denaro (in inglese Time Value of Money). Possiamo riassumerne le ragioni in tre punti:

Inflazione: con il passare del tempo il potere d’acquisto del denaro tende a diminuire, quindi una stessa cifra «vale» meno in futuro.
Rischio: un pagamento promesso per il futuro potrebbe non arrivare; la somma certa di oggi è preferibile a una somma soltanto promessa.
Opportunità: un euro disponibile oggi può essere investito e quindi produrre altro denaro nel frattempo; rinunciarvi ha un costo.

Tutta la matematica finanziaria, in fondo, serve a fare una cosa sola: confrontare e spostare somme di denaro lungo l’asse del tempo, stabilendo a quali condizioni una somma disponibile a una certa data è «equivalente» a un’altra somma disponibile a una data diversa. Distinguiamo inoltre la matematica finanziaria in senso stretto, che tratta le operazioni certe (indipendenti dal verificarsi di eventi aleatori), dalla matematica attuariale, che si occupa di operazioni il cui esito dipende da fenomeni aleatori, come le assicurazioni sulla vita o i fondi pensione.

2. Capitalizzazione (investimento)

Consideriamo l’operazione più elementare: un soggetto investe un capitale $C$ all’epoca $x$ e, in cambio, ha la certezza di ottenere una somma maggiore $M \gt C$ all’epoca successiva $y$. Diciamo che $C$ è il capitale iniziale, mentre $M$ è il montante, cioè il capitale finale. La durata dell’operazione è $t=y-x$.

La differenza tra ciò che si ottiene e ciò che si è investito è il frutto dell’operazione, e si chiama interesse: rappresenta la remunerazione che spetta a chi ha rinunciato alla disponibilità del proprio denaro per il periodo $[x,y]$.

Interesse: \[ I = M – C \qquad\Longrightarrow\qquad M = C + I \]

Tasso d’interesse — l’interesse prodotto da una unità di capitale; è un numero adimensionale, di solito espresso in percentuale: \[ i = \frac{I}{C} \]

Fattore di capitalizzazione — il montante prodotto da una unità di capitale iniziale: \[ r(x,y) = \frac{M}{C}, \qquad M = C\,r(x,y) \]

L’ultima relazione ci dice una cosa importante: il montante è proporzionale al capitale iniziale, e il fattore di proporzionalità è proprio $r(x,y)$. Se investo il doppio del capitale, ottengo il doppio del montante. Possiamo allora ragionare comodamente «per unità di capitale»: dividendo $M=C+I$ per $C$ otteniamo $\tfrac{M}{C}=1+\tfrac{I}{C}$, cioè

\[ r(x,y) = 1 + i(x,y). \]

In altre parole, il fattore di capitalizzazione è semplicemente il montante prodotto da un euro investito: un euro di partenza più l’interesse $i$ che quell’euro genera.

Esempio — interesse e tasso di un prestito

Il signor A presta $C=1000$ euro al signor B, che dopo un anno restituisce il capitale più un interesse di $75$ euro. Allora il montante dell’operazione è $M = C + I = 1075$ euro, e il tasso d’interesse è \[ i = \frac{I}{C} = \frac{75}{1000} = 0{,}075 = 7{,}5\%. \] Detto altrimenti: la somma di 1000 euro, dopo un anno e a queste condizioni, «diventa» 1075 euro.

3. Attualizzazione (sconto)

L’operazione di attualizzazione è la situazione simmetrica rispetto alla capitalizzazione. Qui un soggetto riceve oggi (epoca $x$) una somma $C$ a fronte dell’impegno a pagare una somma maggiore $M$ in un’epoca futura $y$. Si rinuncia a una parte del capitale che si avrà in futuro pur di poterne disporre in anticipo. Il problema, in sostanza, è: quanto vale oggi un importo disponibile soltanto domani? La risposta è la quantità $C$, che prende il nome di valore attuale, con $C \lt M$.

Sconto — la parte di $M$ ceduta per ottenere liquidità in anticipo: \[ D = M – C \]

Tasso di sconto — lo sconto per unità di capitale a scadenza. Attenzione: il denominatore è $M$ (il capitale futuro), non $C$: \[ d = \frac{D}{M} \]

Fattore di attualizzazione — il valore di oggi di una unità disponibile in futuro: \[ v(x,y) = \frac{C}{M}, \qquad C = M\,v(x,y), \qquad v(x,y) = 1 – d(x,y). \]

Mentre il fattore di capitalizzazione $r$ «porta avanti» nel tempo un capitale (da oggi al futuro), il fattore di attualizzazione $v$ lo «riporta indietro» (dal futuro a oggi). Per questo $v$ è sempre minore di 1: un euro disponibile in futuro vale, oggi, meno di un euro.

Da non confondere
Interesse e sconto sono numericamente la stessa quantità vista da due lati: in entrambi i casi $I = D = M – C$. Ma i due tassi sono diversi, perché hanno denominatori diversi: $i$ misura il guadagno rispetto al capitale iniziale $C$, $d$ lo misura rispetto al capitale a scadenza $M$. Poiché $C \lt M$, si ha sempre $d \lt i$: tasso di sconto e tasso d’interesse non coincidono.

4. Relazioni tra le grandezze fondamentali

Abbiamo introdotto quattro grandezze: il tasso d’interesse $i$, il tasso di sconto $d$, il fattore di capitalizzazione $r$ e il fattore di attualizzazione $v$. Non sono indipendenti tra loro. Anzi, poiché capitalizzazione e attualizzazione sono operazioni l’una inversa dell’altra — se $M$ è il montante di $C$, allora $C$ è il valore attuale di $M$ — vale la relazione chiave

\[ r(t)\cdot v(t) = 1, \qquad\text{cioè}\qquad r(t)=\frac{1}{v(t)},\quad v(t)=\frac{1}{r(t)}. \]

A partire da questa identità e dalle definizioni, con semplici passaggi algebrici si ricavano tutte le relazioni che legano le quattro grandezze. Le raccogliamo qui:

\[ r = \frac{1}{v} = 1+i = \frac{1}{1-d} \qquad i = r-1 = \frac{d}{1-d} = \frac{1-v}{v} \] \[ d = \frac{i}{1+i} = \frac{r-1}{r} = 1-v \qquad v = \frac{1}{r} = \frac{1}{1+i} = 1-d \]

La conseguenza pratica è comoda: basta conoscere uno solo tra $i$, $d$, $r$, $v$ per ricavare immediatamente tutti gli altri. La relazione $d=\dfrac{i}{1+i}$, in particolare, tornerà spesso: dice che il tasso di sconto è il tasso d’interesse «riferito al montante» anziché al capitale iniziale, e per questo è sempre un po’ più piccolo di $i$.

5. I tre regimi finanziari

Finora abbiamo legato fra loro le grandezze in un istante dato, ma non abbiamo ancora detto come l’interesse cresce al passare del tempo. È proprio questo il compito di un regime finanziario (o legge di capitalizzazione): una regola che stabilisce come il fattore $r(t)$ dipende dalla durata $t$. Regole diverse descrivono modi diversi di far fruttare il capitale. Ne vediamo tre, i più importanti.

5.1 Interesse semplice (IS)

Nel regime dell’interesse semplice l’interesse prodotto è proporzionale al tempo e viene sempre calcolato sul capitale iniziale $C$. L’elemento caratteristico è che l’interesse, man mano che matura, non entra a far parte del capitale: non genera a sua volta altro interesse. Le formule sono quindi lineari in $t$:

\[ I(t) = C\,i\,t \qquad M(t) = C\,(1+i\,t) \qquad r(t)=1+i\,t \qquad v(t)=\frac{1}{1+i\,t} \]

Poiché $M(t)$ è una funzione lineare del tempo, il suo grafico è una retta: ogni anno si aggiunge sempre la stessa quota di interesse $C\,i$. Questo regime si usa tipicamente per operazioni di breve durata (interessi sul conto corrente per frazioni d’anno, ratei di cedole tra due stacchi, e in generale quando $t$ è piccolo).

Esempio 1 — calcolo del montante

Capitale $C=10\,000$ euro, tasso annuo $i=4\%$, durata $15$ mesi. La prima cosa da fare è esprimere il tempo nella stessa unità del tasso, cioè in anni: $t=\tfrac{15}{12}=1{,}25$. Allora \[ I = 10\,000 \cdot 0{,}04 \cdot 1{,}25 = 500\ \text{euro}, \qquad M = C + I = 10\,500\ \text{euro}. \] Verifica con il fattore di capitalizzazione: $r(1{,}25)=1+0{,}04\cdot 1{,}25 = 1{,}05$, quindi $M = 10\,000 \cdot 1{,}05 = 10\,500$ euro. I due percorsi danno lo stesso risultato.

Esempio 2 — ricerca del tasso

Sappiamo che $C=5000$ euro diventano $M=5225$ euro in $t=9$ mesi $=0{,}75$ anni e vogliamo il tasso annuo $i$. L’interesse è $I=M-C=225$ euro; invertendo $I=C\,i\,t$ otteniamo \[ i = \frac{I}{C\,t} = \frac{225}{5000 \cdot 0{,}75} = 0{,}06 = 6\%. \]

5.2 Sconto commerciale (SC)

Nel regime dello sconto commerciale è lo sconto, anziché l’interesse, a essere proporzionale al tempo. La regola di base è $d(t)=d\,t$, da cui discendono le altre grandezze:

\[ d(t)=d\,t \qquad v(t)=1-d\,t \qquad r(t)=\frac{1}{1-d\,t} \]

Questo regime presenta un limite di applicabilità: vale solo per $t \lt 1/d$. L’intuizione è semplice: se il tempo cresce troppo, lo sconto $d\,t$ finirebbe per superare l’intero capitale a scadenza, il fattore di attualizzazione $v(t)=1-d\,t$ diventerebbe negativo e si cadrebbe in una situazione priva di senso finanziario (si parla di incoerenza finanziaria). Il fattore di capitalizzazione $r(t)=\tfrac{1}{1-d\,t}$ è un’iperbole con un asintoto verticale in $t=1/d$: per questo lo sconto commerciale è detto anche capitalizzazione iperbolica. Trova impiego in operazioni di breve termine, come lo sconto bancario di cambiali ed effetti o l’anticipo di fatture, dove il tasso $d$ si applica al valore nominale $M$.

5.3 Interesse composto (IC)

L’interesse composto è il regime fondamentale, quello che si usa come standard in quasi tutte le applicazioni (mutui, obbligazioni, piani di accumulo, calcolo del TAEG). La sua idea caratteristica è che gli interessi diventano fruttiferi nello stesso istante in cui si producono: l’interesse maturato si somma al capitale e, da quel momento, genera a sua volta nuovo interesse. È il fenomeno noto come interesse sull’interesse (in inglese compounding).

Ragioniamo per passi. Una unità di capitale, dopo un periodo, diventa $1+i$: quindi $r(1)=1+i$. Se l’investimento prosegue alle stesse condizioni, al termine del secondo periodo l’intero montante del primo periodo viene capitalizzato di nuovo per lo stesso fattore, dando $r(2)=(1+i)\cdot(1+i)=(1+i)^2$. Ripetendo il ragionamento per $t$ periodi (e poi estendendo a un tempo $t$ qualsiasi) si ottiene la regola del regime:

\[ r(t)=(1+i)^{t} \qquad M(t)=C\,(1+i)^{t} \qquad v(t)=(1+i)^{-t} \]

La crescita è esponenziale. A differenza dell’interesse semplice, qui l’interesse di ciascun periodo non è costante ma cresce, perché è calcolato sul montante già accumulato: $I_t = M(t-1)\cdot i = C\,(1+i)^{t-1}\,i$. Sono proprio gli interessi dei periodi precedenti che, diventati capitale, contribuiscono a produrne di nuovi.

Intuizione

Nell’interesse semplice ogni anno «stacchi» l’interesse e lo metti da parte: il capitale che lavora resta sempre $C$. Nell’interesse composto, invece, lasci l’interesse dentro l’investimento, così l’anno dopo lavora un capitale un po’ più grande. È una differenza piccola sul breve periodo, ma che diventa enorme sul lungo periodo, come mostra la tabella più avanti.

6. Confronto tra i regimi

A parità di tasso, quale regime produce il montante più alto? La risposta dipende dalla durata. Per poter confrontare interesse semplice, interesse composto e sconto commerciale «alla pari», si assume che i tassi siano legati dalla relazione $d=\dfrac{i}{1+i}$: è la condizione affinché i tre fattori di capitalizzazione coincidano esattamente in $t=1$ (dove valgono tutti $1+i$). Con questa premessa, l’ordinamento dei montanti è:

\[ 0 \lt t \lt 1:\quad M_{\text{IS}} \gt M_{\text{IC}} \gt M_{\text{SC}} \] \[ t=1:\quad M_{\text{IS}}=M_{\text{IC}}=M_{\text{SC}}=1+i \] \[ t \gt 1:\quad M_{\text{SC}} \gt M_{\text{IC}} \gt M_{\text{IS}} \]

Per durate inferiori all’anno è l’interesse semplice a dare il montante maggiore; oltre l’anno la situazione si rovescia e l’interesse composto supera nettamente il semplice, con un divario che cresce sempre più. (Lo sconto commerciale, come visto, è applicabile solo finché $t \lt 1/d$.) La tabella seguente mostra il confronto tra interesse semplice e composto su un capitale di 1000 euro al 6% annuo: fino a un anno i due montanti coincidono, ma con il passare del tempo il composto prende il largo.

Montante in interesse semplice e composto a confronto ($C=1000$ euro, $i=6\%$).
$t$ (anni)	IS (euro)	IC (euro)	IC − IS (euro)
1	1060,00	1060,00	+0,00
2	1120,00	1123,60	+3,60
5	1300,00	1338,23	+38,23
10	1600,00	1790,85	+190,85
20	2200,00	3207,14	+1007,14
30	2800,00	5743,49	+2943,49

Dopo 30 anni il montante in interesse composto (5743,49 euro) è più del doppio di quello in interesse semplice (2800 euro): è l’effetto, cumulato nel tempo, dell’interesse sull’interesse.

Sintesi

Interesse semplice: crescita lineare, l’interesse resta calcolato su $C$, regime non scindibile, uso a breve termine. Interesse composto: crescita esponenziale, interesse sull’interesse, regime scindibile (la proprietà che lo rende lo standard, come vedremo nel modulo sulla legge esponenziale). Sconto commerciale: crescita iperbolica, valido solo per $t \lt 1/d$, usato per lo sconto di effetti a breve.

7. Operazioni finanziarie

Fin qui abbiamo considerato operazioni elementari con un solo versamento e un solo incasso. In generale, però, un’operazione coinvolge più importi a date diverse (si pensi alle rate di un mutuo, alle cedole di un’obbligazione, ai versamenti di un piano di accumulo). Conviene allora una notazione compatta. Definiamo un’operazione finanziaria come un insieme di incassi e pagamenti con le rispettive date di esigibilità, e la rappresentiamo con una coppia di vettori $\mathbf{x}/\mathbf{t}$:

\[ \mathbf{x}=(x_0,\ldots,x_n) \quad\text{(gli importi)}, \qquad \mathbf{t}=(t_0,\ldots,t_n) \quad\text{(le scadenze, ordinate in modo crescente).} \]

Per convenzione di segno, dal punto di vista dell’investitore, gli incassi si considerano positivi e i pagamenti negativi (così possiamo trattarli tutti insieme come «pagamenti» algebrici, distinguendoli solo dal segno).

Esempio — acquisto di un’obbligazione

Compro oggi un’obbligazione a $100$, che paga una cedola di $5$ per tre anni e rimborsa $105$ (capitale più ultima cedola) al quarto anno. L’operazione si scrive \[ \mathbf{x}/\mathbf{t} = (-100;\,5;\,5;\,5;\,105)\,/\,(0;\,1;\,2;\,3;\,4): \] un esborso iniziale (segno negativo) seguito da quattro incassi (segno positivo).

Su queste operazioni si possono definire delle operazioni tra operazioni. La somma di due operazioni finanziarie si ottiene unendo i rispettivi scadenzari e sommando algebricamente gli importi che cadono alle stesse date. Per esempio:

\[ (-95;\,100)/(0;\,1) \;+\; (100;\,-3;\,-103)/(0;\,\tfrac12;\,1) \;=\; (5;\,-3;\,-3)/(0;\,\tfrac12;\,1). \]

Questa rappresentazione vettoriale è il linguaggio con cui, nei moduli successivi, valuteremo un’operazione (calcolandone il valore a una certa data), stabiliremo quando è «equa» e definiremo indicatori come il valore attuale netto e il tasso interno di rendimento.

8. Esercizi

Un capitale di $8000$ euro è investito al $4\%$ annuo in interesse semplice per $2$ anni e $3$ mesi. Calcolare $I$, $M$, $r(t)$ e $v(t)$.
In interesse composto al $6\%$ annuo, trovare il capitale iniziale $C$ che produce un montante di $5000$ euro dopo $5$ anni.
Per $t=8$ mesi, quale regime conviene all’investitore tra IS e IC, a parità di tasso $i=8\%$? E per $t=3$ anni? Calcolare i montanti e commentare.
Un BOT annuale ha valore nominale $10\,000$ euro ed è emesso a $9700$. Scrivere $\mathbf{x}/\mathbf{t}$ e calcolare il rendimento $i$ in interesse semplice e composto; commentare il caso $t=1$.

Suggerimento per l’esercizio 1

Esprimi prima il tempo in anni: $t=2{,}25$. Poi applica $I=C\,i\,t$, $M=C(1+i\,t)$, $r=1+i\,t$ e infine $v=1/r$.