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Quando si accende un prestito (un mutuo, un finanziamento), bisogna stabilire come restituirlo nel tempo. Il piano di ammortamento è la tabella che descrive, anno per anno, quanto si paga, quanta parte è capitale, quanta è interesse e quanto debito resta. In questo modulo costruiamo i piani più usati: l’ammortamento francese (a rata costante) e quello italiano (a quota capitale costante), con le varianti.
1. Il problema dell’ammortamento
Un soggetto A presta a un soggetto B una somma \(S\) (l’ammontare del prestito); B si impegna a restituirla entro \(n\) anni, secondo tempi stabiliti, pagando un interesse sul debito ancora in essere al tasso \(i\). (Correzione: è B, il debitore, a scegliere come restituire e a effettuare i rimborsi; nella vecchia pagina compariva «A».) Il rimborso può avvenire in un’unica soluzione o, più spesso, con rate periodiche.
Simbologia di un piano di ammortamento:
- \(S\): ammontare del prestito;
- \(C_1,\ldots,C_n\): quote capitale (le frazioni di capitale che si restituiscono);
- \(I_h\): quota interesse dell’anno \(h\), che misura il costo del prestito in quell’anno;
- \(R_h=C_h+I_h\): la rata pagata all’epoca \(h\);
- \(D_h\): il debito residuo all’epoca \(h\), cioè ciò che resta da restituire.
La quota interesse è proporzionale al tasso e al capitale ancora a disposizione nel periodo: \(I_h=i\cdot D_{h-1}\). Il debito residuo si può leggere in due modi equivalenti: in chiave prospettiva (somma delle quote capitale ancora da pagare, \(D_h=C_{h+1}+\cdots+C_n\)) o retrospettiva (capitale iniziale meno le quote già rimborsate, \(D_h=S-C_1-\cdots-C_h\)). Vale sempre la condizione di chiusura: all’ultima rata il debito residuo è zero, \(D_n=0\).
2. Ammortamento francese (rata costante)
È il piano più diffuso (è quello della maggior parte dei mutui): la rata è costante per tutta la durata. Poiché il debito iniziale è il valore attuale di tutte le rate, la rata si ottiene dividendo \(S\) per il fattore di rendita \(a_{\overline{n}|i}\):
Con \(S=100\) euro, \(n=4\), \(i=3\%\) si ottiene \(a_{\overline{4}|0{,}03}=3{,}717098\) e quindi \(R=100/3{,}717098=26{,}9027\) euro. Il piano si compila riga per riga: si calcola \(I_h=i\,D_{h-1}\), poi \(C_h=R-I_h\), poi \(D_h=D_{h-1}-C_h\).
| \(h\) | \(R_h\) | \(C_h\) | \(I_h\) | \(D_h\) |
|---|---|---|---|---|
| 0 | — | — | — | 100,0000 |
| 1 | 26,9027 | 23,9027 | 3,0000 | 76,0973 |
| 2 | 26,9027 | 24,6198 | 2,2829 | 51,4775 |
| 3 | 26,9027 | 25,3584 | 1,5443 | 26,1191 |
| 4 | 26,9027 | 26,1191 | 0,7836 | 0,0000 |
3. Ammortamento italiano (quota capitale costante)
Qui è la quota capitale a essere costante: \(C_h=S/n\). Si calcolano prima le quote capitale, poi i debiti residui, poi le quote interesse \(I_h=i\,D_{h-1}\), e infine le rate \(R_h=C_h+I_h\). Le rate sono quindi decrescenti (l’interesse cala perché cala il debito).
| \(h\) | \(R_h\) | \(C_h\) | \(I_h\) | \(D_h\) |
|---|---|---|---|---|
| 0 | — | — | — | 100,00 |
| 1 | 28,00 | 25,00 | 3,00 | 75,00 |
| 2 | 27,25 | 25,00 | 2,25 | 50,00 |
| 3 | 26,50 | 25,00 | 1,50 | 25,00 |
| 4 | 25,75 | 25,00 | 0,75 | 0,00 |
4. Varianti: preammortamento, rimborso unico, tedesco
Preammortamento. Le parti possono concordare un periodo iniziale in cui si pagano solo gli interessi \(I_h=i\,S\), rinviando l’ammortamento vero e proprio. Ad esempio, con 3 anni di preammortamento sul caso precedente, per i primi tre anni si paga \(3\) euro (interesse su 100 al 3%) e il debito resta 100; dal quarto anno parte l’ammortamento.
Rimborso unico. Il capitale \(S\) si restituisce tutto alla fine; le rate intermedie, posticipate, sono costituite dai soli interessi \(i\,S\), e l’ultima rata vale \(S+i\,S\). È un caso particolare del preammortamento esteso a tutta la durata.
Ammortamento tedesco (interessi anticipati). Non è un piano a sé, ma una modalità: gli interessi si pagano all’inizio del periodo anziché alla fine. La prima quota interesse è versata all’epoca 0, la prima quota capitale all’epoca 1. (Correzione: nella vecchia pagina i passaggi confondevano gli indici del debito; l’interesse anticipato del periodo si calcola sul debito residuo a inizio periodo.) Rispetto al caso posticipato le rate sono un po’ più basse, perché i pagamenti sono anticipati.
5. Ammortamento americano (a due tassi)
L’ammortamento americano combina due operazioni parallele a tassi diversi. Il debitore paga ogni anno: (a) la sola quota interesse sul prestito, \(I_k=S\,i\), al tasso di remunerazione \(i\) (il debito \(S\) resta invariato fino alla fine); e (b) versa una quota di accumulazione costante \(Q\) in un fondo che frutta a un tasso \(i’\) (di solito inferiore). Alla scadenza, il fondo deve aver ricostituito l’intero capitale \(S\), che viene così restituito in un’unica soluzione.
La condizione sul fondo di accumulazione è che il montante delle quote \(Q\) eguagli \(S\): \[ Q\,s_{\overline{n}|i’}=S \qquad\Longrightarrow\qquad Q=\frac{S}{s_{\overline{n}|i’}}. \] La rata complessiva annua è quindi \(R=S\,i+Q=S\,i+\dfrac{S}{s_{\overline{n}|i’}}\).
Se i due tassi coincidono (\(i’=i\)), la rata dell’americano coincide con quella dell’ammortamento francese: è un utile controllo di coerenza.
6. Esercizi
- Costruire il piano di ammortamento francese di un prestito \(S=10\,000\) euro, \(n=5\), \(i=4\%\): calcolare la rata e compilare la tabella.
- Per lo stesso prestito, costruire il piano italiano (quota capitale costante) e confrontare l’andamento delle rate.
- Verificare la proprietà \(C_h=R\,v^{\,n-h+1}\) sulle quote capitale del piano francese della tabella (\(S=100\), \(n=4\), \(i=3\%\)).
- Ammortamento americano con \(S=50\,000\), \(n=8\), \(i=5\%\), \(i’=3\%\): calcolare la quota di accumulazione \(Q\) e la rata complessiva.
