Rendite - UNIVERSITÀ INCLUSIVA

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Mutui, leasing, piani di accumulo, cedole, stipendi: tantissime operazioni finanziarie consistono in una sequenza di pagamenti a scadenze regolari. Un insieme di capitali di questo tipo si chiama rendita. In questo modulo impariamo a calcolarne in modo rapido il valore attuale e il montante, soprattutto nel caso (frequentissimo) di rata costante in regime di interesse composto.

1. Che cos’è una rendita

Una rendita è un’operazione finanziaria costituita da una successione di capitali, detti rate (o termini), disponibili a determinate scadenze. Sono rendite, ad esempio, le rate di un mutuo, i canoni di affitto, i dividendi periodici di un’azione, lo stipendio mensile, i versamenti su un fondo di investimento.

Quando le rate sono tutte uguali, invece di scontare o capitalizzare una per una, possiamo usare formule compatte basate sulla somma di progressioni geometriche: è proprio il vantaggio che studiamo qui. Ci concentriamo sulle rendite a rata costante valutate in interesse composto, le più importanti nelle applicazioni.

Una rendita è ben definita quando, oltre ai dati numerici, ne conosciamo le caratteristiche. Si classifica secondo quattro criteri:

Periodicità della rata: annua, frazionata (più volte l’anno) o poliennale (ogni più anni).
Momento del pagamento: posticipata (rata a fine periodo) o anticipata (rata a inizio periodo).
Inizio: immediata (parte subito) o differita di $t$ anni.
Durata: temporanea (numero finito $n$ di rate) o perpetua (infinite rate).

Valutare una rendita significa determinare un unico capitale equivalente a tutte le rate, a un’epoca fissata e a un certo tasso. Le due valutazioni più importanti sono:

il valore attuale, se la valutazione precede (o coincide con) la prima scadenza;
il montante, se la valutazione segue (o coincide con) l’ultima scadenza.

Per convenzione, indichiamo con $t_0$ l’inizio della rendita e con $t_1$ la data della prima rata. Se $t_0=t_1-1$ la rendita è posticipata; se $t_0=t_1$ è anticipata. È immediata se $t_0=0$, differita di $t$ anni se $t_0=t$.

2. Rendita immediata posticipata

È il caso base: $n$ rate annue costanti $R$, la prima pagata alla fine del primo anno (in $t_1=1$), l’ultima in $t_n=n$. Il generico pagamento $x_h=R$ ha scadenza $t_h=h$. (Correzione: nella vecchia pagina compariva $t_h=k$; la scadenza della rata $h$-esima è $t_h=h$.)

Il valore attuale è la somma dei valori attuali delle singole rate, cioè una progressione geometrica di ragione $v=(1+i)^{-1}$:

\[ A=\sum_{h=1}^{n} R\,v^{h}=R\sum_{h=1}^{n} v^{h}=R\,\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}=R\,a_{\overline{n}|i}, \qquad a_{\overline{n}|i}=\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}. \]

Il simbolo $a_{\overline{n}|i}$ si legge «a figurato $n$ al tasso $i$» ed è il valore attuale di una rendita unitaria ($R=1$) di $n$ rate. Il montante si ottiene invece capitalizzando ogni rata fino all’epoca $n$: la prima per $n-1$ anni, l’ultima (pagata in $n$) per $0$. È di nuovo una progressione geometrica:

\[ S=R\sum_{h=1}^{n}(1+i)^{n-h}=R\,\frac{(1+i)^{n}-1}{i}=R\,s_{\overline{n}|i}, \qquad s_{\overline{n}|i}=\frac{(1+i)^{n}-1}{i}. \]

I due fattori sono legati da $s_{\overline{n}|i}=(1+i)^{n}\,a_{\overline{n}|i}$: il montante è il valore attuale capitalizzato per l’intera durata. La lettera $s$ indica per convenzione un montante, la $a$ un valore attuale.

Esempio 1 — valore attuale

Rendita immediata posticipata con $n=4$, $R=5$ euro. Al tasso $i=4\%$: \[ A=5\,a_{\overline{4}|0{,}04}=5\,\frac{1-1{,}04^{-4}}{0{,}04}=18{,}1495; \] al tasso $i=3\%$: $A=5\,a_{\overline{4}|0{,}03}=18{,}5855$. A tasso più basso il valore attuale è più alto (si sconta di meno).

Esempio 2 — montante

Rendita con $R=35$, $n=5$, $i=12\%$: \[ S=35\,s_{\overline{5}|0{,}12}=35\,\frac{1{,}12^{5}-1}{0{,}12}=222{,}3497. \] Si ottiene lo stesso valore sommando i montanti di ciascuna rata.

3. Rendita perpetua posticipata

Una rendita perpetua ha un numero illimitato di rate. Esempi reali sono rari (storicamente, i titoli di Stato irredimibili, che pagavano cedole per sempre senza rimborsare il capitale). Il valore attuale di una rendita unitaria perpetua posticipata si ottiene come limite, per $n\to\infty$, del fattore $a_{\overline{n}|i}$: poiché $v \lt 1$, il termine $v^{n}\to 0$ e

\[ a_{\overline{\infty}|i}=\lim_{n\to\infty} a_{\overline{n}|i}=\lim_{n\to\infty}\frac{1-v^{n}}{i}=\frac{1}{i}, \qquad A=\frac{R}{i}. \]

(Correzione: nella vecchia pagina questo simbolo era scritto con $\varnothing$ al posto di $\infty$.) La formula $A=R/i$ è molto usata: il valore di una rendita perpetua è semplicemente la rata divisa per il tasso. Ad esempio, una rendita perpetua di $R=50$ euro annui al $5\%$ vale oggi $50/0{,}05=1000$ euro.

4. Rendita immediata anticipata

Nella rendita anticipata la prima rata si paga subito, in $t_1=t_0=0$ (l’unica differenza rispetto alla posticipata). Ogni rata è quindi anticipata di un periodo: il valore attuale si ottiene da quello posticipato capitalizzandolo per un anno, cioè moltiplicando per $(1+i)$:

\[ \ddot{a}_{\overline{n}|i}=\frac{1-v^{n}}{d}=(1+i)\,a_{\overline{n}|i}, \qquad A=R\,\ddot{a}_{\overline{n}|i}, \]

dove $d=\dfrac{i}{1+i}$ è il tasso di sconto. Analogamente, il montante della rendita anticipata è

\[ \ddot{s}_{\overline{n}|i}=\frac{(1+i)^{n}-1}{d}=(1+i)\,s_{\overline{n}|i}, \qquad S=R\,\ddot{s}_{\overline{n}|i}. \]

In tutti i casi anticipati, insomma, si moltiplica il corrispondente valore posticipato per $(1+i)$: è il «premio» per il fatto di ricevere (o pagare) ogni rata un periodo prima.

Esempio — rendita anticipata

Cinque rate annue di $100$ euro, anticipate. Al tasso $i=2{,}5\%$: \[ A=100\,(1+i)\,\frac{1-1{,}025^{-5}}{0{,}025}=100\,\ddot{a}_{\overline{5}|0{,}025}=476{,}1974; \] al tasso $i=3{,}5\%$: $A=100\,\ddot{a}_{\overline{5}|0{,}035}=467{,}3079$.

Esempio — perpetua anticipata

Una rendita perpetua anticipata vale quella posticipata più la prima rata pagata subito: $\ddot{a}_{\overline{\infty}|i}=(1+i)\cdot\frac{1}{i}=\frac{1}{i}+1$, quindi $A=R+\dfrac{R}{i}$. Per $R=12$ euro e $i=3\%$: \[ A=12+\frac{12}{0{,}03}=12+400=412\ \text{euro}. \]

5. Rendita differita di $t$ anni

Se l’inizio della rendita è rinviato di $t$ anni, il calcolo del valore attuale è immediato: basta scontare per $t$ anni (moltiplicare per $v^{t}$) il valore attuale della rendita immediata corrispondente. Per la rendita temporanea differita posticipata:

\[ A=R\,v^{t}\,a_{\overline{n}|i}, \qquad {}_{t/}a_{\overline{n}|i}=v^{t}\,a_{\overline{n}|i}. \]

Il simbolo ${}_{t/}a_{\overline{n}|i}$ si legge «a figurato $n$ al tasso $i$, differita di $t$». Vale inoltre una relazione utile: una rendita di $n$ rate differita di $t$ equivale a una rendita immediata di durata $t+n$ privata delle prime $t$ rate, cioè

\[ {}_{t/}a_{\overline{n}|i}=a_{\overline{t+n}|i}-a_{\overline{t}|i}. \]

(In modo del tutto analogo si tratta la rendita differita anticipata, moltiplicando $\ddot{a}_{\overline{n}|i}$ per $v^{t}$.)

6. Rendite frazionate

Una rendita è frazionata quando le rate cadono più volte l’anno, a distanza di $1/m$ di anno. La si riconduce al caso annuo passando al tasso periodale equivalente $i_{1/m}=(1+i)^{1/m}-1$ (modulo «I tassi e la forza d’interesse»). Detta $R$ la rata annua complessiva e $R’=R/m$ la singola rata periodale, su $m\cdot n$ periodi il valore attuale è

\[ A=R’\,a_{\overline{m\cdot n}|\,i_{1/m}}, \qquad a_{\overline{m\cdot n}|\,i_{1/m}}=\frac{1-(1+i_{1/m})^{-m n}}{i_{1/m}}. \]

Equivalentemente, usando il tasso nominale $J(m)=m\,i_{1/m}$, si può scrivere il valore attuale in funzione della rendita annua corrispondente: $A=R\,\dfrac{1-v^{n}}{J(m)}$. (Nota: la grandezza che nella vecchia pagina compariva a volte come $j(m)$ e a volte come $J(m)$ è la stessa: il tasso nominale annuo.)

Esempio — rendita mensile

Rendita posticipata di durata 5 anni, rata annua $R=48$ euro pagabile mensilmente, al tasso $i=3\%$. Traduciamo i dati per $m=12$: rata mensile $R’=48/12=4$ euro, numero di periodi $m\cdot n=60$, tasso mensile $i_{1/12}=(1{,}03)^{1/12}-1=0{,}002466$. Allora \[ A=4\,\frac{1-(1{,}002466)^{-60}}{0{,}002466}=222{,}832\ \text{euro}, \] lo stesso risultato che si ottiene con $A=48\,\dfrac{1-1{,}03^{-5}}{12\cdot 0{,}002466}$.

In modo simmetrico si ricava il montante di una rendita frazionata, $S=R’\,s_{\overline{m\cdot n}|\,i_{1/m}}$.

7. Esercizi

Calcolare valore attuale e montante di una rendita immediata posticipata di $8$ rate annue da $1000$ euro al tasso $i=4\%$.
Una rendita perpetua posticipata vale oggi $20\,000$ euro al tasso $i=4\%$. Qual è la rata annua $R$?
Cinque rate da $200$ euro, anticipate, al $3\%$: calcolare il valore attuale usando $\ddot{a}_{\overline{n}|i}=(1+i)\,a_{\overline{n}|i}$.
Una rendita di $6$ rate annue da $500$ euro è differita di $3$ anni ($i=5\%$). Calcolare il valore attuale con ${}_{3/}a_{\overline{6}|i}=v^{3}a_{\overline{6}|i}$ e verificare con $a_{\overline{9}|i}-a_{\overline{3}|i}$.

Suggerimento per l’esercizio 2

Da $A=R/i$ si ricava $R=A\cdot i=20\,000\cdot 0{,}04=800$ euro.