Struttura a termine dei tassi d'interesse

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Fino a qui abbiamo supposto un unico tasso d’interesse. Nel mercato reale, però, il tasso dipende dalla scadenza: prestare per un anno o per dieci non rende lo stesso. La «struttura a termine dei tassi» descrive proprio come il tasso varia con la durata. In questo modulo introduciamo il mercato ideale, i contratti a pronti e a termine, e la relazione di coerenza che lega i tassi delle diverse scadenze in assenza di arbitraggi.

1. Le ipotesi del mercato ideale

Per studiare i tassi in modo pulito si parte da un mercato ideale, cioè un insieme di ipotesi semplificatrici che isolano i meccanismi essenziali. Non sono del tutto realistiche, ma sono il punto di partenza standard: i risultati che ne derivano valgono, in buona approssimazione, anche nei mercati reali ben funzionanti.

Assenza di attriti: non ci sono costi di transazione né imposte.
Vendite allo scoperto consentite: si possono detenere quote negative di titoli (short selling).
Assenza di rischio di insolvenza: i contratti vengono sicuramente onorati.
Divisibilità: i titoli sono infinitamente divisibili (nessun taglio minimo o massimo).
Operatori razionali: tutti preferiscono, a parità di condizioni, la somma maggiore (massimizzano il profitto).
Concorrenza perfetta: nessun operatore, con le proprie operazioni, può influenzare i prezzi (tutti sono price taker).
Assenza di arbitraggi: non è possibile ottenere un profitto certo senza alcun rischio e senza alcun esborso.

L’ultima ipotesi è la più importante: è il principio di non arbitraggio. Insieme alla concorrenza perfetta, implica la legge dell’unico prezzo: due operazioni che producono gli stessi flussi futuri devono avere oggi lo stesso prezzo. Se così non fosse, si potrebbe comprare la più economica e vendere la più cara, incassando un profitto certo a costo zero — cosa che gli operatori sfrutterebbero immediatamente, riportando i prezzi in linea.

2. Contratti a pronti e a termine

Nel mercato consideriamo due tipi di operazione, che si distinguono per quando avviene lo scambio.

Operazione a pronti (spot): conclusa in $t_0$, prevede lo scambio di un importo $x_0$ in $t_0$ con un importo $x_n$ in $t_n$. Lo scambio inizia subito. In forma vettoriale: \[ (x_0,\,x_n)\,/\,(t_0,\,t_n). \]

Operazione a termine (forward): conclusa oggi in $t_0$, prevede lo scambio di un importo $x_h$ in $t_h$ con un importo $x_n$ in $t_n$, con $t_0 \lt t_h \lt t_n$. In $t_0$ non c’è scambio di denaro: si fissa soltanto l’accordo. In forma vettoriale: \[ (0,\,x_h,\,x_n)\,/\,(t_0,\,t_h,\,t_n). \]

Correzione Nella vecchia pagina la definizione di operazione a termine indicava il primo importo «in $t_n$»: è un refuso. Il primo scambio avviene in $t_h$ (lo conferma lo schema vettoriale, con scadenze $t_0,t_h,t_n$).

La differenza è tutta nel momento dello scambio: a pronti si parte oggi; a termine ci si accorda oggi su un’operazione che partirà in una data futura $t_h$. Il contratto a termine serve, ad esempio, a fissare oggi il tasso a cui si investirà o ci si finanzierà domani.

3. Tassi d’interesse a pronti (spot)

Lo strumento di base è lo zero-coupon bond (ZCB): un titolo che paga un solo importo $x_n$ alla scadenza $t_n$ e costa oggi $x_0$. Acquistandolo, l’investitore capitalizza le proprie risorse secondo il fattore

\[ r(t_0,t_n)=\frac{x_n}{x_0}, \qquad v(t_0,t_n)=\frac{x_0}{x_n}=\frac{1}{r(t_0,t_n)}. \]

Per convenzione adottiamo l’interesse composto, così il fattore di capitalizzazione si lega al tasso a pronti (o tasso spot) $i(t_0,t_n)$ su base annua, dove l’esponente è la durata $t_n-t_0$:

\[ r(t_0,t_n)=\big[\,1+i(t_0,t_n)\,\big]^{\,t_n-t_0}, \qquad i(t_0,t_n)=r(t_0,t_n)^{\frac{1}{t_n-t_0}}-1. \]

Disponendo di ZCB per varie scadenze si calcolano i tassi spot per le diverse durate; collegandoli si ottiene la curva dei tassi a pronti, cioè la struttura per scadenza. Si definisce infine il tasso istantaneo a pronti come intensità (forza d’interesse) media sul periodo:

\[ h(t_0,t_n)=\frac{1}{t_n-t_0}\,\ln r(t_0,t_n)=-\frac{1}{t_n-t_0}\,\ln v(t_0,t_n). \]

4. Tassi a termine e relazione di coerenza

Indichiamo con $r(t_0,t_h,t_n)$ il fattore di un contratto a termine: la somma che si riceve in $t_n$ pagando 1 in $t_h$, in base all’accordo stipulato oggi in $t_0$. La domanda è: che relazione c’è tra i tassi a pronti e quelli a termine? La risposta viene dal non arbitraggio.

Confrontiamo due strategie per portare un capitale da $t_0$ a $t_n$: (a) un unico ZCB da $t_0$ a $t_n$; (b) un ZCB da $t_0$ a $t_h$, e poi — tramite un contratto a termine fissato oggi — reinvestire da $t_h$ a $t_n$. Producono lo stesso risultato finale: per la legge dell’unico prezzo devono allora valere lo stesso. Questa è la relazione di coerenza:

\[ r(t_0,t_n)=r(t_0,t_h)\cdot r(t_0,t_h,t_n), \qquad\text{oppure}\qquad v(t_0,t_n)=v(t_0,t_h)\cdot v(t_0,t_h,t_n), \quad t_0 \lt t_h \lt t_n. \]

È, in sostanza, la scindibilità del modulo precedente, trasferita dal singolo investitore al mercato dei capitali. Da essa si ricava direttamente il fattore a termine come rapporto tra due fattori a pronti:

\[ r(t_0,t_h,t_n)=\frac{r(t_0,t_n)}{r(t_0,t_h)}, \qquad i(t_0,t_h,t_n)=r(t_0,t_h,t_n)^{\frac{1}{t_n-t_h}}-1. \]

Il tasso $i(t_0,t_h,t_n)$ prende il nome di tasso a termine (o tasso forward): è il tasso, valutato oggi in $t_0$, relativo al periodo futuro che va da $t_h$ a $t_n$. Analogamente si definisce il tasso istantaneo a termine $h(t_0,t_h,t_n)=\frac{1}{t_n-t_h}\ln r(t_0,t_h,t_n)$.

In sintesi

La relazione di coerenza dice che il tasso a termine è già «contenuto» nei tassi a pronti: conoscendo la curva spot, i tassi forward sono determinati. Non c’è libertà di prezzo: se un contratto a termine fosse quotato diversamente, si aprirebbe un arbitraggio.

5. Struttura piatta dei tassi

Un caso particolare importante è quello in cui i tassi spot sono tutti uguali, indipendentemente dalla scadenza. Allora anche i tassi a termine sono costanti e pari allo stesso valore: la curva dei tassi a pronti è una retta orizzontale. Si parla di struttura piatta dei tassi. È la situazione in cui esiste, in ogni istante, un unico «tasso di mercato» valido per qualunque durata: è l’ipotesi semplificatrice che useremo, ad esempio, nello studio della duration.

6. Che cosa succede se la coerenza è violata: l’arbitraggio

Supponiamo che la relazione di coerenza non valga, ad esempio perché lo ZCB diretto fino a $t_n$ è quotato troppo caro:

\[ v(t_0,t_n) \gt v(t_0,t_h)\cdot v(t_0,t_h,t_n). \]

Allora si può costruire un arbitraggio, cioè un profitto certo senza esborso né rischio: si vende lo strumento sopravvalutato (il diritto a 1 euro in $t_n$ comprato direttamente) e si compra il sintetico equivalente (lo ZCB fino a $t_h$ più il contratto a termine da $t_h$ a $t_n$). Seguiamo i flussi di cassa ai tre istanti (segno positivo = entra, negativo = esce):

Flussi di cassa della strategia di arbitraggio (importi per 1 euro a scadenza in $t_n$).
Operazione	in $t_0$	in $t_h$	in $t_n$
Vendo lo ZCB diretto $t_0\!\to\!t_n$	$+\,v(t_0,t_n)$	$0$	$-1$
Compro il sintetico ($t_0\!\to\!t_h$ + termine $t_h\!\to\!t_n$)	$-\,v(t_0,t_h)\,v(t_0,t_h,t_n)$	$0$	$+1$
Saldo	$v(t_0,t_n)-v(t_0,t_h)\,v(t_0,t_h,t_n) \gt 0$	$0$	$0$

Il saldo è strettamente positivo oggi (per l’ipotesi di violazione) e nullo alle date future: si guadagna con certezza senza aver speso nulla. Proprio l’esistenza di operatori che sfruttano questa possibilità riporta i prezzi a soddisfare la relazione di coerenza — ed è il motivo per cui, in un mercato efficiente, la coerenza vale.

7. Esercizi

Uno ZCB biennale costa oggi $x_0=90$ e rimborsa $x_n=100$ tra 2 anni. Calcolare il fattore a pronti $r(0,2)$ e il tasso spot annuo $i(0,2)$.
Siano $i(0,1)=3\%$ e $i(0,2)=4\%$ i tassi spot a uno e due anni. Ricavare il tasso a termine $i(0,1,2)$ (il tasso forward sul secondo anno) dalla relazione di coerenza.
In una struttura piatta al $5\%$, quanto vale il tasso a termine relativo al periodo dal terzo al quinto anno? Giustificare la risposta.
Verificare che, se $v(t_0,t_n)=v(t_0,t_h)\,v(t_0,t_h,t_n)$, il saldo della strategia della tabella è nullo a tutti e tre gli istanti (nessun arbitraggio).

Suggerimento per l’esercizio 2

$r(0,2)=r(0,1)\,r(0,1,2)$, con $r(0,1)=1{,}03$ e $r(0,2)=1{,}04^{2}$. Quindi $r(0,1,2)=1{,}04^{2}/1{,}03$ e $i(0,1,2)=r(0,1,2)-1$ (durata di un anno).

Operazione	in \(t_0\)	in \(t_h\)	in \(t_n\)
Vendo lo ZCB diretto \(t_0\!\to\!t_n\)	\(+\,v(t_0,t_n)\)	\(0\)	\(-1\)
Compro il sintetico (\(t_0\!\to\!t_h\) + termine \(t_h\!\to\!t_n\))	\(-\,v(t_0,t_h)\,v(t_0,t_h,t_n)\)	\(0\)	\(+1\)
Saldo	\(v(t_0,t_n)-v(t_0,t_h)\,v(t_0,t_h,t_n) \gt 0\)	\(0\)	\(0\)