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Quanto «vale» davvero un prestito o un investimento? L’importo nominale non basta: contano il tasso e la distribuzione nel tempo dei flussi. In questo modulo introduciamo il valore di un prestito (nuda proprietà e usufrutto) e i due criteri principali per valutare e confrontare le operazioni: il valore attuale netto (VAN) e il tasso interno di rendimento (TIR), fino al TAEG dei contratti di credito.
1. Il valore di un prestito
L’ammontare nominale di un debito è solo una misura approssimativa del suo peso reale, che dipende dal tasso e dal piano di ammortamento. Definiamo allora il valore del prestito all’epoca \(h\), valutato a un tasso \(j\) scelto da chi valuta, come la somma dei valori attuali (in \(h\)) di tutte le rate non ancora pagate:
Poiché ogni rata è somma di quota capitale e quota interesse, il valore si scinde in due parti notevoli: la nuda proprietà (valore attuale delle sole quote capitale residue) e l’usufrutto (valore attuale delle sole quote interesse residue):
La terminologia richiama il diritto: la nuda proprietà è il diritto al capitale, l’usufrutto è il diritto ai frutti (gli interessi).
2. Confrontare operazioni: l’omogeneità
Prima di confrontare due operazioni occorre che siano omogenee. Non ha senso confrontare direttamente investimenti con esborsi iniziali diversi, o con durate diverse: il confronto sarebbe distorto. In generale, perché due operazioni siano confrontabili in modo corretto, conviene che condividano almeno lo stesso esborso iniziale e la stessa durata. Tutto ciò vale indipendentemente dal criterio che si userà.
3. Il valore attuale netto (VAN)
Data un’operazione \(x/t=\{x_0,\ldots,x_n\}/\{t_0,\ldots,t_n\}\), il valore attuale netto (VAN, detto anche REA, risultato economico attualizzato) a un tasso di valutazione \(j\) è la somma dei valori attuali di tutti i flussi:
Chiamando «costi» i flussi negativi e «ricavi» quelli positivi, il VAN è la differenza tra il valore attuale dei ricavi e quello dei costi. Tra due operazioni confrontabili si sceglie quella con VAN più alto.
Esempio — il risultato dipende dal tasso
Confrontiamo, al tasso \(j=2\%\): \[ x/t=\{-100;10;10;10;110\}/\{0;1;2;3;4\}, \qquad x’/t=\{-100;20;10;9;100\}/\{0;1{,}5;2;3{,}5;4\}. \] Si ottiene \(\mathrm{VAN}=30{,}46183\) e \(\mathrm{VAN}’=29{,}80823\): conviene la prima. Ma al tasso \(j=8\%\) i valori diventano \(\mathrm{VAN}=6{,}62\) e \(\mathrm{VAN}’=6{,}77\): ora conviene la seconda! Il criterio del VAN dipende quindi fortemente dal tasso scelto — il suo limite principale.
4. Il tasso interno di rendimento (TIR)
Il tasso interno di rendimento (TIR) di un’operazione è quel tasso \(i^{*}\) che la rende equa, cioè che annulla il VAN:
Ponendo \(v=(1+i)^{-1}\) e pagamenti periodici (\(t_k=k\)), l’equazione del TIR diventa un’equazione algebrica di grado \(n\) in \(v\). Un’operazione potrebbe non avere TIR, oppure averne più di uno: il caso interessante è quando esiste un’unica radice compresa tra 0 e 1 (un tasso d’interesse sensato).
Esistenza del TIR
Regola dei segni di Cartesio. Detto \(N\) il numero di variazioni di segno nei coefficienti del polinomio, il numero \(h\) di radici positive soddisfa \(h\le N\) e ha la stessa parità di \(N\) (cioè \(N-h\) è pari). (Correzione: non vale l’uguaglianza «\(N=h\)» della vecchia pagina; è una maggiorazione.) In particolare, se i flussi cambiano segno una sola volta (\(N=1\)) — il caso di un esborso seguito da incassi, o viceversa — esiste un’unica soluzione positiva: il TIR esiste ed è unico.
Esempio — TIR per interpolazione lineare
Per l’operazione \(\{-99{,}2;\,4;\,4;\,4;\,104\}/\{0;1;2;3;4\}\) si cerca il tasso che bilancia entrate e uscite. Procedendo per tentativi si trova che il valore passa da \(100\) (a \(i_0=4\%\)) a \(98{,}206\) (a \(i_1=4{,}5\%\)), mentre cerchiamo \(99{,}2\). Interpolando linearmente: \[ i\cong i_0+\frac{i_1-i_0}{A_1-A_0}\,(A-A_0)=0{,}04+\frac{0{,}005}{98{,}206-100}\,(99{,}2-100)\approx 0{,}0422. \] Il TIR è circa \(4{,}22\%\).
Anche il TIR ha limiti: presuppone un tasso unico e costante per tutta la durata, e il confronto con un tasso di riferimento (sopra il quale l’investimento conviene) è in parte arbitrario. Per questo VAN e TIR si usano spesso insieme.
5. TAEG e TAN
Il TAEG (Tasso Annuo Effettivo Globale) è il tasso che rende uguale la somma erogata al creditore al valore attuale di tutte le rate di rimborso, comprensive di ogni costo (interessi, spese di istruttoria, assicurazioni obbligatorie). In altre parole, il TAEG annulla il VAN dell’operazione di credito: è esattamente il TIR. È previsto per legge (oggi D.Lgs. 141/2010 e direttive UE) per dare al consumatore un parametro di confronto trasparente. Vale sempre \(\mathrm{TAEG}\ge\mathrm{TAN}\) (il tasso annuo nominale), con uguaglianza solo se non ci sono spese.
Esempio
Finanziamento di \(12\,000\) euro, rimborsato in \(12\) rate mensili da \(1\,000\) euro, con \(150\) euro di spese di istruttoria. Il TAN è nullo (la somma delle rate eguaglia il finanziamento), ma il TAEG no: risolvendo \[ 1\,000\sum_{k=1}^{12}(1+i^{*}_{1/12})^{-k}+150=12\,000 \] si trova \(i^{*}_{1/12}=0{,}001941\) e quindi il TIR annuo \[ i^{*}=(1+i^{*}_{1/12})^{12}-1\approx 2{,}3536\%. \] Le sole spese di istruttoria fanno salire il costo effettivo dallo \(0\%\) (TAN) a circa il \(2{,}35\%\) (TAEG).
6. Esercizi
- Calcolare il VAN dell’operazione \(\{-1000;\,400;\,400;\,400\}/\{0;1;2;3\}\) ai tassi \(j=5\%\) e \(j=10\%\). Per quale tasso il VAN si annulla (TIR)?
- Spiegare perché, se i flussi cambiano segno una sola volta, il TIR è unico (regola di Cartesio).
- Un prestito ha rate \(R_t\); calcolare nuda proprietà e usufrutto in \(h=2\) per un piano a piacere e verificare che la loro somma è il valore del prestito.
- Un finanziamento di \(5\,000\) euro con \(80\) euro di spese, rimborsato in \(10\) rate mensili da \(520\) euro: impostare l’equazione del TAEG.
